L’objectif de ce livre est de donner une vue d’ensemble de la
théorie de la mesure, de l’intégration et des probabilités
correspondant à un niveau de troisième année de licence ou de première
année de master (en mathématiques).
La lecture de ce livre requiert la connaissance des notions d’analyse
réelle, d’algèbre linéaire et de calcul différentiel enseignées en
première et deuxième année de licence de mathématiques dans la plupart
des universités françaises.
Nous nous sommes attachés à introduire le vocabulaire de la théorie des
probabilités en parallèle à celui de l’analyse. Nous espérons ainsi
faciliter l’accès conjoint à des études ultérieures dans ces deux
branches des mathématiques, ce qui semble devenir indispensable aux
mathématiciens se formant en vue d’appliquer ces théories.
Nous attachons une importance considérable aux exercices : plus de 300
sont proposés dans ce livre, certains sont des applications directes du
cours, d’autres contiennent des développements importants. Plus de 250
d’entre eux sont assortis d’un corrigé détaillé.
Ce livre, issu d’un polycopié de cours amélioré et complété sur plus de
20 ans, a bénéficié de nombreuses remarques ou questions de nos
étudiants et de discussions avec nos collègues (en particulier
probabilistes). Nous tenons à les en remercier chaleureusement.
--> Table
des matières
1
Motivation et objectifs 1.1
Intégrale des fonctions continues
1.2 Insuffisance de l’intégrale
des fonctions continues
1.3 Les probabilités
1.4 Objectifs
1.5 Structure du cours
1.6 Exercices
2 Tribus et mesures
2.1
Introduction
2.2 Tribu ou σ−algèbre
2.3 Mesure, probabilités
2.4 Mesure signée
2.5 La mesure de Lebesgue sur la
tribu des boréliens
2.6 Indépendance et probabilité
conditionnelle
2.7 Exercices
3
Fonctions mesurables, variables aléatoires 3.1
Introduction, topologie sur R+
3.2 Fonctions étagées.
3.3 Fonctions mesurables et
variables aléatoires
3.4 Mesure image, loi d’une
v.a., v.a. indépendantes
3.5 Convergence p.p., p.s., en mesure,
en probabilité
3.6 Exercices
4
Fonctions intégrables
4.1
Intégrale d’une fonction étagée positive
4.2 Intégrale d’une fonction
mesurable positive
4.3 Convergence monotone et lemme
de Fatou.
4.4 Mesures et probabilités de
densité
4.5 L’espace L1des fonctions intégrables
4.6 L’espace L1
4.7
Théorèmes de convergence dans L1
4.8
Continuité et dérivabilité sous l'intégrale
4.9 Espérance et moments des
variables aléatoires
4.10 Espace L1C(E,T,m)
et l'espace L1RN(E,T,m)
4.11 Exercices
5
Intégrale sur les boréliens de R
5.1 Intégrale de Lebesgue et intégrale des fonctions
continues
5.2 Mesures abstraites et mesures de
Radon
5.3 Changement de variable, densité et
continuité
5.4 Intégrales impropres des fonctions
de R dans R
5.5 Exercices
6
Les espaces Lp
6.1
Définition et premières propriétés
6.2 Analyse hilbertienne et
espace L2
6.3 Dualité dans les espaces Lp,1≤p≤∞
6.4 Convergence faible, faible-∗,
étroite, en loi.
6.5 Exercices
7
Produits d’espaces mesurés
7.1
Motivation
7.2 Mesure produit
7.3 Théorèmes de Fubini-Tonelli
et Fubini
7.4 Mesure de Lebesgue sur la
tribu des boréliens de RN
7.5 Convolution
7.6 Formules de changement de
variable
7.7 Exercices
8
Densité, séparabilité et compacité 8.1
Théorèmes de densité pour les espaces Lp(Ω)
8.2 SéparabilitédeLp(Ω)
8.3 Compacité dans les espaces Lp(Ω)
8.4 Compacité faible-∗
8.5 Exercices
10 Transformation
de Fourier 10.1
Introduction et notations
10.2 Transformation de Fourier
dans L1
10.3 Transformée de Fourier d’une
mesures signée
10.4 Transformation de
Fourier dans L2
10.5 Résolutiond’une E.D.O ou
d’une E.D.P
10.6 Fonction caractéristique
d’un vecteur aléatoire
10.7 Exercices
