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Institut de Mathématiques de Marseille, UMR 7373
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À propos d’une question de Pascal Hubert

vendredi
11
décembre
2015
11h00 - 12h00
horaire FRUMAM

Aix-Marseille Université - Site St Charles
3, place Victor Hugo - case 39
13331 MARSEILLE Cedex 03

La question de Pascal est la suivante : Etant donné un sous-groupe discret Gamma de SL(2,R) et un vecteur v de R^2 d’orbite Gamma v discrète, peut-on relier la vitesse de croissance de l’orbite Gamma v dans R^2 (c’est-à-dire l’exposant de croissance du nombre de points dans des boules de plus en plus grandes) à l’exposant critique du sous-groupe (c’est-à-dire l’exposant de croissance de l’orbite d’un point dans l’espace hyperbolique) ?
La réponse de Françoise Dal’Bo à cette question est positive : la relation entre les deux est bien celle que l’on attendrai.
Ma réponse à la question est au contraire négative : j’ai des exemples de sous-groupes de SL(2,Z) ayant une orbite dans Z^2 de densité positive mais ayant aussi un exposant critique arbitrairement petit.
Aucune contradiction bien entendu : Françoise Dal’Bo fait une hypothèse qui n’est pas vérifiée par mes exemples.
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Dans mon exposé je rappellerai toutes les définitions nécessaires et je préciserai les énoncés. J’indiquerai comment ces résultats se généralisent à des groupes d’isométries d’un espace Gromov-hyperbolique.
J’expliquerai l’argument (très simple) de Françoise Dal’Bo, puis je donnerai les idées de ma preuve, qui est basé sur un argument de ping-pong.
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Une preuve complète de mon résultat est disponible ici : https://www.i2m.univ-amu.fr/ paul.mercat/DiscreteActionOnThePlane.pdf

Paul MERCAT