Institut de Mathématiques de Marseille, UMR 7373




Rechercher


Accueil >

Analyse d’équations intégro-différentielles et d’EDP non locales issues de la modélisation de dynamiques adaptatives

Mercredi 19 septembre 10:00-11:30 - Marie-Ève GIL - I2M, AA, Aix-Marseille Université

Analyse d’équations intégro-différentielles et d’EDP non locales issues de la modélisation de dynamiques adaptatives

Résumé : Soutenance de thèse
-
Ce manuscrit de thèse porte sur l’analyse mathématique de modèles intégro-différentiels issus de la génétique des populations. Les deux modèles étudiés sont des équations de réaction-dispersion de type ∂tp(t,m)=UD[p](t,m)+f[p](t,m)\partial_t p(t,m) = U \mathfrakD[p](t,m) + f[p](t,m). Ils décrivent la dynamique de la distribution de la fitness (ou valeur sélective) dans une population asexuée sous l’effet des mutations et de la sélection représentées respectivement par les termes non locaux UD[p](t,m)U \mathfrakD[p](t,m) et par f[p](t,m)f[p](t,m). La différence entre les deux modèles se situe au niveau du terme de mutation. En effet, dans le premier modèle, les effets des mutations sur la fitness ne dépendent pas de la fitness du parent, cela se traduit donc par un terme de convolution classique : D[p](t,m)=∫RJ(m-y)p(t,y)dy-p(t,m)\mathfrakD[p](t,m) = \int_\mathbbR J(m-y) p(t,y)\, dy - p(t,m).
Lorsqu’une mutation a lieu, la fonction J(m-y) J(m-y) représente la densité de probabilité pour un individu de fitness yy d’avoir un descendant de fitness mm. Le taux de mutation est donné par la constante UU.
Dans le second modèle, les effets des mutations sur la fitness dépendent aussi de la fitness du parent. Dans ce cas, un individu de fitness yy a un descendant de fitness mm avec la densité de probabilité Jy(m-y)J_y(m-y). Ce type de dépendance apparaît naturellement lorsque l’on suppose qu’il existe une fitness optimale (ou encore un optimum phénotypique).
Pour chacun des deux modèles, nous établissons dans un premier temps des résultats d’existence et d’unicité ainsi que des propriétés de décroissance de la solution. Cette décroissance permet de définir la fonction génératrice des cumulants (CGF) associée à la distribution de fitness. La CGF est la solution d’une équation de transport non locale. Pour le premier modèle, l’étude de cette équation permet d’obtenir une solution analytique et donc d’obtenir une description complète de la distribution p(t,m)p(t,m) via ses moments.
Nous étudions ensuite les états stationnaires pour chacun des deux modèles, et établissons des conditions suffisantes pour l’existence et la non-existence de phénomènes de concentration, correspondant à une accumulation d’individus de phénotypes optimaux.
Nos résultats sont comparés à des sorties de modèles stochastiques individu-centrés représentant le même type de dynamiques évolutives.
-
Abstract :
This manuscript is devoted to the mathematical analysis of integro-differential models from population genetics. Both models are reaction-dispersion equations of the form ∂tp(t,m)=UD[p](t,m)+f[p](t,m)\partial_t p(t,m) = U \mathfrakD[p](t,m) + f[p](t,m). They describe the dynamics of fitness distribution in an asexual population under the effect of mutation and selection. These two processes are represented by the nonlocal terms UD[p](t,m) and by f[p](t,m) respectively. The difference between the models rests on the mutation term. Indeed, in the first model, the mutation effects on fitness do not depend on the fitness of the parent.
Thus, the mutation term is a standard convolution product : D[p](t,m)=∫RJ(m-y)p(t,y)dy-p(t,m)\mathfrakD[p](t,m) = \int_\mathbbR J(m-y) p(t,y)\, dy - p(t,m).
When a mutation occurs, the function J(m-y) represents the density of probability for an individual with fitness yy to have an offspring with fitness m. The mutation rate is given by the constant U.
In the second model, the mutation effects on fitness depend on the fitness of the parent. In this case, an individual with fitness y has an offspring with fitness m with a probability density Jy(m-y). This type of dependence naturally arises when the existence of an optimal fitness (or a phenotypic optimum) is assumed. For both models, we first establish existence and uniqueness results as well as decay properties of the solution. The decay property allows us to define the cumulant generating function (CGF). The CGF obeys a nonlocal transport equation. In the first model, we compute the analytical solution of this transport equation and thus, we obtain a complete description of the distribution p(t,m)p(t,m) through its moments. Then, we study the stationary states for both models, and establish sufficient conditions for the existence and non-existence of a concentration phenomenon corresponding to an accumulation of individuals with best possible phenotype.
The results are compared to the results of stochastic individual based models which represent the same kind of evolutionary dynamics.
-
Membres du jury :
-
- M. Matthieu Alfaro, Maître de conférence, Université de Montpellier, Rapporteur
- Mme Assia Benabdallah, Professeur des universités, Aix-Marseille Université, Examinatrice
- M. Vincent Calvez, Directeur de Recherche, CNRS, Examinateur
- Mme Guillemette Chapuisat, Maître de conférence, Aix-Marseille Université, Examinatrice
- M. Arnaud Ducrot, Professeur des universités, Université du Havre, Rapporteur
- M. François Hamel, Professeur des université, Aix-Marseille Université, Directeur de thèse
- M. Guillaume Martin, Chargé de recherche, CNRS, Examinateur
- M. Lionel Roques, Directeur de recherche, INRA, Directeur de thèse.
-



-
PNG - 7.7 ko
(lien à venir)


-
Liens :
- theses.fr
- Fiche de l’ED184
-
Accès Salle des Voûtes (Bâtiment 9)

Lieu : Salle des Voûtes - Aix-Marseille Université - Site St Charles
3, place Victor Hugo - case 39
13331 MARSEILLE Cedex 03

Exporter cet événement

Pour en savoir plus sur cet événement, consultez l'article Agenda des soutenances AA