Institut de Mathématiques de Marseille, UMR 7373




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Approximation numérique de lois de conservation hyperboliques stochastiques scalaires

Lundi 4 décembre 2017 - Sylvain DOTTI - I2M, AA, Marseille

Approximation numérique de lois de conservation hyperboliques stochastiques scalaires

Résumé : Soutenance de thèse
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Nous étudions dans cette thèse, une loi de conservation scalaire hyperbolique d’ordre un avec terme source stochastique et flux non-linéaire.
Le terme source stochastique peut être considéré comme la superposition d’une infinité de bruits Gaussiens dépendants de la quantité conservée.
Nous donnons une définition de solution de cette équation aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) d’un point de vue intermédiaire entre celui de l’analyste (solution non régulière en espace, introduction d’une variable supplémentaire dite cinétique) et celui du probabiliste (solution processus stochastique continu à droite limité à gauche en temps). L’unicité de la solution est prouvée grâce à un dédoublement des variables à la Kruzkov.
Nous étudions la stabilité de la loi de conservation pour donner un théorème général donnant les conditions d’existence d’une solution et les conditions de convergence d’une suite de solutions approchées vers la solution de la loi de conservation. Cette étude se fait grâce à des outils probabilistes : représenta- tion des martingales sous forme d’intégrales stochastiques, existence d’un espace probabilisé sur lequel la convergence de lois de probabilités est équivalente à la convergence presque sûre de variables aléatoires.
Pour finir l’étude, nous prouvons l’existence d’une solution grâce aux propriétés de l’approximation de l’EDPS par un schéma numérique des Volumes Finis ex- plicite en temps, puis la convergence de cette approximation vers la solution de l’EDPS. Les outils utilisés sont ceux de l’analyse, spécifiquement ceux de la mé- thode des Volumes Finis en déterministe, auxquels il faut ajouter ceux du calcul stochastique (outils probabilistes).
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Title : Numerical approximation of hyperbolic stochastic scalar conservation laws.
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Abstract : In this thesis, we study a scalar hyperbolic conservation law of order one, with stochastic source term and non-linear flux. The source term can be seen as the superposition of an infinity of Gaussian noises depending on the conserved quan- tity.
We give a definition of solution of this stochastic partial differential equation (SPDE) with an intermediate point of view between that of the analyst (non- regular solution in space, introduction of an additional kinetic variable) and that of the probabilist (right continuous with left limits in time stochastic process solution). Uniqueness of the solution is proved thanks to a doubling of variables à la Kruzkov.
We study the stability of the conservation law, in order to give a general theorem where the conditions of existence of a solution and conditions of convergence of a sequence of approximate solutions towards the solution of the conservation law are given. This study is done thanks to probabilistic tools : representation of martingales in the form of stochastic integrals, existence of a probability space on which the convergence of probability measures is equivalent to the almost sure convergence of random variables.
To finish the study, we prove the existence of a solution thanks to the properties of the approximation of the SPDE given by an explicit in time Finite Volumes numerical scheme, then the convergence of this approximation towards the so- lution of the SPDE. The tools used are those of the numerical analysis, especially those of the Finite Volume Method, and those of the stochastic calculus (probabilistic tools).
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Membres du jury :
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- Benoît Merlet, Professeur, Université de Lille 1, Rapporteur
- Petra Wittbold, Professeur, Université de Duisburg- Essen, Allemagne, Rapportrice
- Fabienne Castell, Professeur, Université d’Aix-Marseille, Examinatrice
- Frédéric Lagoutière, Professeur, Université de Lyon 1, Examinateur
- Guy Vallet, Maître de Conférences HDR, Université de Pau, Examinateur
- Julia Charrier, Maître de Conférences, Université d’Aix-Marseille, Invitée
- Thierry Gallouët, Professeur, Université d’Aix-Marseille, Co-directeur de thèse
- Julien Vovelle, Chargé de Recherches HDR, Université de Lyon 1, Directeur de thèse
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Sylvain DOTTI

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Liens :
- theses.fr
- Fiche de l’ED184

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