Institut de Mathématiques de Marseille, UMR 7373




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Deux problèmes inverses en élastodynamique fréquentielle

Jeudi 27 avril 14:00-15:00 - Rémi CORNAGGIA - UMA, Université de Rennes 1

Deux problèmes inverses en élastodynamique fréquentielle

Résumé : L’exposé reprend mes travaux de thèse, qui ont porté sur deux problèmes inverses distincts. La méthodologie proposée s’appuie dans les deux cas sur l’exploration des ordres supérieurs de méthodes asymptotiques existantes.
Dans une première partie, j’exposerai des travaux menés en collaboration avec C. Bellis et B.Guzina. On s’intéresse à une poutre droite dans laquelle se propagent des ondes longitudinales, et on cherche à identifier un "défaut périodique" modélisé par une portion de poutre de longueur L composée de deux matériaux alternés périodiquement. Pour cela, on suppose connues les premières fréquences de transmission associées à ce défaut, qui sont valeurs propres d’un problème dit de transmission intérieur (ITP). Afin de disposer d’un modèle propice à l’inversion, nous nous reposons sur des approximations de l’ITP exact obtenues par homogénéisation du défaut périodique. A partir du modèle homogénéisé d’ordre 0, nous établissons tout d’abord une approximation simple des paramètres macroscopiques du défaut (longueur L et contrastes matériaux). Pour avoir accès à la période de la microstructure, nous nous intéressons ensuite à des modèles homogénéisés d’ordre élevé, pour lesquels nous soulignons le besoin de conditions aux limites adaptées.
La seconde partie, menée en collaboration avec M. Bonnet, est motivée par l’identification de la taille et la position d’une inhomogénéité B enfouie dans un domaine élastique tridimensionnel. Nous nous concentrons sur l’étude de fonctions-coûts J(Ba) quantifiant l’écart entre B et une hétérogénéité ``test’’ Ba. Le but est de minimiser une telle fonction-coût par rapport à tout ou partie des caractéristiques de Ba (position, taille, propriétés mécaniques ...) pour établir la meilleure correspondance possible entre Ba et B. A cet effet, et en nous restreignant à de "petits" défauts (devant la longueur d’onde d’une onde incidente, par exemple) nous produisons un développement asymptotique de J(Ba) en la taille de Ba, et obtenons ainsi une approximation polynomiale plus aisée à minimiser. Ce développement, établi jusqu’à l’ordre 6, est justifié par une estimation du résidu. Une méthode d’identification adaptée est ensuite présentée et illustrée par des exemples numériques portant sur des obstacles sphériques dans l’espace libre R^3.
English version :
Title : Two inverse problems in time-harmonic elastodynamics
The presentation will cover my PhD work, that addressed two distincts inverse problems. In both cases, our approach lean on higher-order expansions of existing asymptotic methods.
In a first part, I will present results obtained in collboration with B. Guzina and C. Bellis. We are interested in a rod in which we want to identify a "periodic flaw", i.e. a part of the rod, , of length L, made of a two-phases layered material. We suppose the low-frequency transmission eigenvalues (TEs) associated to such flaw are known. The TE are the eigenvalues of the so-called interior transmission problem (ITP). To provide a convenient invertible model, while accounting for the microstructure effects, we rely on homogenized approximations of the exact ITP for the periodic inclusion. Focusing on the leading-order homogenized ITP, we first provide a straightforward method to recover the macroscopic parameters (length L and material contrast) of the flaw. To access the period of the microstructure, higher-order homogenization is then considered, with emphasis on the need for suitable boundary conditions.
The second part, conducted in collaboration with M. Bonnet, is dedicated to the localization and size identification of a buried inhomogeneity B in a 3D elastic domain. In this goal, we focus on the study of functionals J(Ba) quantifying the misfit between B and a trial homogeneity Ba. Such functionals are to be minimized w.r.t. some or all the characteristics of the trial inclusion Ba (location, size, mechanical properties ...) to find the best agreement with B. To this end, we produce an expansion of J(Ba) with respect to the size of Ba, obtaining a polynomial approximation easier to minimize. This expansion, established up to the sixth order in a volume integral equations framework, is justified by an estimate of the residual. A suited identification procedure is then given and supported by numerical illustrations for spherical obstacles in full-space R^3.

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Rémi CORNAGGIA

Lieu : FRUMAM

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Pour en savoir plus sur cet événement, consultez l'article Groupe de Travail Guide d’ondes, milieux stratifiés et problèmes inverses (GOMS)