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Institut de Mathématiques de Marseille, UMR 7373
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Fonctions zêtas et géométrie des ensembles fractals discrets

vendredi
07
février
2014
11h00 - 12h00
horaire FRUMAM

Aix-Marseille Université - Site St Charles
3, place Victor Hugo - case 39
13331 MARSEILLE Cedex 03

Les fonctions zêtas traduisent divers problèmes de comptage (comptage des nombres premiers, comptage des solutions d’équations diophantiennes, densité des points rationnels sur les variétés algébriques, spectre d’opérateurs,.. ) en d’autres problèmes de prolongement analytique qui se prêtent mieux à l’analyse. Les théorèmes taubériens interprètent ensuite l’information analytique obtenue sur ces fonctions en information sur les problèmes de comptage de départ.
Après une brève introduction à cette théorie, je présenterai mes derniers travaux avec Ben Lichtin sur les fonctions zêtas associées aux ensembles discrets non bornés et présentant une certaine fractalité à l’infini. Je donnerai en particulier une nouvelle méthode pour obtenir des propriétés analytiques fines de ces fonctions zêtas (prolongement mésomorphe, croissance, distribution des pôles,..).
J’expliquerai ensuite comment en déduire à l’aide de certains outils d’analyse et de géométrie complexe (résidus à une ou plusieurs variables, résolutions des singularités,..) des propriétés (souvent inaccessibles directement) de la géométrie des fractals discrets sous-jacents.
Comme application, je présenterai quelques résultats nouveaux sur deux problèmes classiques (le problème des distances distinctes d’Erdos et son analogue concernant les volumes distincts des simplexes dans les fractals) ainsi qu’une extension d’un ancien résultat de Mahler aux voiles d’Arnold associés aux corps de nombres totalement réels.

Driss Essouabri