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Institut de Mathématiques de Marseille, UMR 7373
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Jean-Pierre CONZE - Remarques et questions sur les valeurs des sommes ergodiques d’une fonction à valeur entière

mardi
22
octobre
2019
11h00 - 12h00
horaire Salle des séminaires 304-306 (3ème étage)

Institut de Mathématiques de Marseille (UMR 7373)
Site Sud - Bâtiment TPR2
Campus de Luminy, Case 907
13288 MARSEILLE Cedex 9

Jean-Pierre CONZE (IRMAR, Rennes)

Soient (X, B, μ, T) un système dynamique ergodique et f une fonction mesurable à valeurs dans Zd.
Si Λ est un sous-ensemble infini de Zd, on peut poser la question des passages dans Λ du processus des sommes ergodiques
Snf(x) : = Σk = 0n-1f(Tkx), n≥1, x∊X.
Cette question conduit à revisiter certains résultats et à reposer des questions anciennes.

Par exemple, pour d = 1, on peut estimer le nombre de visites avant le temps N dans l’ensemble des carrés dans Z, lorsque f est intégrable et μ(f) ≠ 0 (conséquence d’un résultat de J. Bourgain (1989)).
L’ensemble {Snf(x), n≥1} contient une infinité de carrés pour presque tout x.
Mais dans le cas intégrable centré, pour un ensemble donné Λ⊆Zd à ``gaps’’ non bornés, il existe f engendrant un cocycle ``non régulier’’ au dessus d’une rotation irrationnelle tel que {Snf(x), n≥1} ∩ Λ = ∅.

Une autre question, qui est liée au problème des valeurs du cocycle, est celle du mélange du flot spécial quand f≥1 est la fonction plafond.

Jean-Pierre CONZE