Systèmes dynamiques auto-induits – Fabien Durand

Fabien Durand
LAMFA, Université de Picardie Jules Verne, Amiens
http://www.lamfa.u-picardie.fr/fdurand/

Date(s) : 18/01/2019   iCal
11 h 00 min - 12 h 30 min

Les sous-shifts minimaux sont connus pour être auto-induits. Cela peut-être montré en utilisant le Théorème de reconnaissabilité de Mossé.

Mais leurs propriétés d’auto-induction sont plus forte : ces sous-shifts n’ont qu’un nombre fini de systèmes induits sur des cylindres. Cela a été prouvé par Durand en 1998 et Holton-Zamboni en 1999. Dans cet exposé nous considérerons des inductions sur différents type d’ensemble, ouverts, fermés, les deux, ensembles mesurables possiblement de mesure nulle, et montrerons que suivant les cas les propriétés sont radicalement différentes. L’auto-induction sur des ouverts-fermés pour des dynamiques sur des Cantor correspond à des sous-shifts substitutifs sur des alphabets possiblement non-dénombrables. Dans ce cas l’entropie est soit 0, soit l’infini en raison de la formule d’Abramov. A l’opposé, tous les systèmes ergodiques sont auto-induits, ou encore étant donnés deux systèmes ergodiques l’un est nécessairement l’induit de l’autre. Dans ces situations et pour des systèmes d’entropie non nulle et non infinie, l’induction se fera sur des ensembles de mesure nulle, donc sans avoir recours au Théorème de récurrence de Poincaré.

Self-induced dynamic systems.

Minimal subshifts are known to be self-induced. This can be shown using Mossé’s Recognition Theorem.

But their self-induction properties are stronger: these subshifts only have a finite number of systems induced on cylinders. This was proved by Durand in 1998 and Holton-Zamboni in 1999. In this talk we will consider inductions on different types of set, open, closed, both, measurable sets possibly of zero measure, and we will show that depending on the case the properties are radically different. The auto-induction on open-closed for dynamics on Cantors corresponds to substitutive sub-shifts on possibly non-countable alphabets. In this case the entropy is either 0 or infinity due to Abramov’s formula. In contrast, all ergodic systems are self-induced, or given two ergodic systems, one is necessarily induced by the other. In these situations and for non-zero and non-infinite entropy systems, induction will be done on sets of measure zero, therefore without having recourse to Poincaré’s induction theorem. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01222522

 

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