Institut de Mathématiques de Marseille, UMR 7373




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Les événements de septembre 2018

Séminaire

  • Équipe Analyse Appliquée (AA)

    • Mardi 11 septembre 11:00-12:00 -

      Réunion d’équipe

      Article

    • Mardi 18 septembre 11:00-12:00 - Romain DUCASSE - I2M, Aix-Marseille Université

      Influence de lignes à diffusion rapide sur une niche écologique

      Résumé : Nous présentons un modèle décrivant l’influence de lignes à diffusion rapide - telles que des routes, ou tout autre réseau de transport - sur une une niche écologique.
      Ce modèle consiste en un système d’équations de réaction-diffusion. Une particularité est qu’il fait intervenir des couplage entre des équations sur des domaines (non-bornés) de dimensions différentes.
      Nous présenterons d’abord des outils nécessaires à l’analyse de tels systèmes. En particulier, nous introduirons une notion de ``valeur propre principale généralisée", qui nous permettra de caractériser le comportement en temps-long du système.
      Nous étudierons ensuite des propriétés qualitatives (``persistence", ``extinction"...) du système. Nous verrons d’abord que la présence d’une ligne à diffusion rapide a toujours un effet délétère, et peut induire une instabilité suffisante pour conduire à l’extinction une population. Ensuite, nous verrons que si l’environnement se déplace (ce qui peut modéliser l’effet d’un changement climatique ou d’une variation saisonnière des ressources, par exemple), alors la présence de lignes à diffusion rapide peut au contraire aider une population à survivre.
      -
      Ce travail est en collaboration avec Henri Berestycki et Luca Rossi (CAMS, EHESS).

      Lieu : CMI, salle de séminaire R164 (1er étage) - I2M - Château-Gombert
      39 rue Frédéric Joliot-Curie
      13453 MARSEILLE cedex 13

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      Article

    • Mardi 25 septembre 11:00-12:00 - Ian MORILLA - LAGA, Université Paris 13

      Singular manifolds of proteomic drivers controlling the dynamic of inflammatory bowel disease status

      Résumé : The conditions of an immune disease can often be represented by interaction graphs, but how those complex graphs are susceptible to interventions is still of utmost importance in areas such as reprogramming therapeutics. In this sense, module identification is an essential step towards understanding the whole graph architecture. The consideration of a general class of node dissimilarity measures related to the notion of topological overlap enables detecting ``driver’’ genes with high specificity in these modules. These module regulators can affect other nodes, potentially causing the entire system to change behaviour or fail. We provide a geometric framework based on singular manifolds explaining such situations in inflammatory bowel disease (IBD). IBD are important chronic disorders of the gastrointestinal tract which incidence is dramatically increasing worldwide. Our approach models those scenarios by reinterpreting the nonlinear dynamics intrinsic to real systems captured as compensatory responses to perturbations of a graph on its manifold of definition. Thus, we are able to reconfiguring the immune system to a desired target state. We illustrate the effectiveness of the strategy through the identification of potential drivers controlling the dynamic of IBD gene co-expression networks resulting from two high throughput proteome screenings.

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      Ian MORILLA

      Lieu : CMI, salle de séminaire R164 (1er étage) - I2M - Château-Gombert
      39 rue Frédéric Joliot-Curie
      13453 MARSEILLE cedex 13

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      Article

    • Mardi 2 octobre 11:00-12:00 - Guillaume Lévy - Sorbonne Université

      Graphes quantiques, trou spectral et optimisation de formes.

      Résumé : Dans cet exposé, on considère le laplacien unidimensionnel agissant sur des fonctions définies sur un graphe métrique. En guise de condition aux sommets, analogue dans ce cadre des conditions au bord, on impose les conditions de Neumann, qui traduisent la conservation du courant à travers les sommets. Pour un graphe de départ donné, on s’autorise à faire varier les longueurs des arêtes tout en conservant la longueur totale du graphe. On cherche ensuite des bornes explicites sur la première valeur propre non nulle de cet opérateur (égale au trou spectral ici) en fonction de paramètres métriques, topologiques et combinatoires du graphe sous-jacent, que l’on souhaite optimales, ainsi que les graphes atteignant les valeurs extrêmes. On résout ainsi complètement le problème du minimum et l’on apporte également des réponses partielles au problème du maximum. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Ram Band, du Technion (Haïfa).

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      Article

    • Mardi 9 octobre 11:00-12:00 - Giulia Lissoni - Université Côte d'Azur - Nice

      DDFV method for Navier-Stokes problem with outflow boundary conditions

      Résumé : We propose to present some results on the approximation by DDFV (Discrete Duality Finite Volume) methods of the incompressible Navier-Stokes problem with open boundary conditions on the outflow.
      The advantage of DDFV schemes is to be able to work on general meshes that do not necessarily satisfy the classical orthogonality condition imposed on finite volume meshes.
      The boundary conditions we are interested in have been derived by a particular weak formulation of Navier-Stokes that ensures an energy estimate. We propose to recreate the same situation at a discrete level thanks to the DDFV formalism.

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      Article

  • Équipe Géométrie, Dynamique, Arithmétique et Combinatoire et leurs interactions (GDAC)

    • Lundi 17 septembre 14:00-15:00 - André BELOTTO - I2M, Aix-Marseille Université

      La conjecture de Sard sur les surfaces de Martinet

      Résumé : Cet exposé concerne une application de la théorie des singularités à la géométrie sous-riemannienne. Soit Δ une distribution non-holonome de rang 2 sur une variété M de dimension 3. Il est naturel d’étudier la taille de l’ensemble des points X^x qui peuvent être atteint à partir d’un même point x dans M en utilisant des chemins horizontaux singuliers. Dans ce contexte, la conjecture de Sard affirme que X^x devrait être un sous-ensemble de la surface de Martinet Σ-M de mesure de Hausdorff bidimensionnelle zéro.
      Dans ce séminaire, je présenterai un travail en collaboration avec Ludovic Rifford où nous montrons que la conjecture est vrai lorsque la surface de Martinet Σ est lisse. De plus, nous abordons le cas des surfaces de Martinet analytique singulières et montrons que le résultat reste vrai sous une hypothèse de non-transversalité de la distribution Δ sur l’ensemble singulier Sing(Σ) de la surface de Martinet. Nos méthodes reposent sur :
      (i) le contrôle de la divergence des champs de vecteur engendrés par la distribution Δ sur la surface de Martinet Σ et
      (ii) des techniques de résolution des singularités.

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      André BELOTTO DA SILVA

      Lieu : CMI, salle de séminaire R164 (1er étage) - I2M - Château-Gombert
      39 rue Frédéric Joliot-Curie
      13453 MARSEILLE cedex 13

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      Article

    • Lundi 24 septembre 14:00-15:00 - Selim GHAZOUANI - Université de Warwick

      Homéomorphismes du cercle affines par morceaux et surfaces de dilatations

      Résumé : Dans cet exposé, je m’intéresserais à la question suivante : si on tire au hasard un homéomorphisme du cercle affine par morceaux, quel comportement dynamique observe-t-on ?
      Le cas des difféomorphismes du cercle avait été étudié par Herman dans les années 80 et la compréhension de ce problème peut se réduire à des théorèmes de la théorie KAM. 
      Nous proposons ici une approche pour le cas affine par morceaux qui lie l’étude de ce problème à l’étude de certaines structures géométriques sur le tore.

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      Selim GHAZOUANI

      Lieu : CMI, salle de séminaire R164 (1er étage) - I2M - Château-Gombert
      39 rue Frédéric Joliot-Curie
      13453 MARSEILLE cedex 13

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      Article

    • Lundi 1er octobre 14:00-15:00 - Anne Pichon - I2M

      Sur la géométrie Lipschitz locale des espaces singuliers

      Résumé : l’expression "géométrie Lipschitz” fait référence à la catégorie des espaces métriques dont les morphismes sont les applications Lipschitz. Les isomorphismes dans cette catégorie sont les homéomorphismes bi-lipschitz. Un germe d’espace analytique réel (V,0) a deux géométries Lipschitz naturelles induites par le choix d’un plongement de V dans un R^n : la métrique “externe" est définie par la restriction de la distance euclidienne, tandis que la métrique “interne” est définie par l’infimum des longueurs des chemins sur V. L’étude des géométries Lipschitz associées à ces deux métriques est un domaine en plein développement. Je vais expliquer pourquoi, énoncer quelques résultats récents et et donner des questions ouvertes.

      Notes de dernières minutes : TBA

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      Article

    • Lundi 8 octobre 14:00-15:00 - Renaud Leplaideur - Université de Brest

      Séminaire Géométrie, Dynamique et Topologie (GDT)

      Résumé : TBA

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      Article

  • Équipe Géométrie, Dynamique, Arithmétique et Combinatoire et leurs interactions (GDAC)

    • Vendredi 14 septembre 11:00-12:00 - Lionel NGUYEN VAN THÉ - I2M, Aix-Marseille Université

      Une remarque sur un problème de Veech

      Résumé : Un problème de Veech de 68, faisant suite à des résultats de Folner des années 50, demande si pour toute partie syndétique S des entiers relatifs, l’ensemble des différences S-S contient un voisinage de Bohr (c’est-à-dire un nombre fini de caractères ne prenant des valeurs suffisemment petites que sur S-S). Trente ans plus tard, Glasner a proposé un contre-exemple moyennant l’existence d’un groupe topologique exotique, satisfaisant certaines propriétés dynamiques, mais pas d’autres. Le but de l’exposé sera de présenter cette stratégie, et d’exhiber une propriété dynamique additionnelle qu’un tel groupe, s’il existe, doit nécessairement posséder.

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      Lionel NGUYEN VAN THÉ

      Lieu : FRUMAM - Aix-Marseille Université - Site St Charles
      3, place Victor Hugo - case 39
      13331 MARSEILLE Cedex 03

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      Article

    • Vendredi 21 septembre 11:00-12:00 - John HUBBARD - I2M, Aix-Marseille Université

      Volume des strates de l’espace de Teichmüller

      Résumé : TBA

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      John HUBBARD

      Lieu : FRUMAM - Aix-Marseille Université - Site St Charles
      3, place Victor Hugo - case 39
      13331 MARSEILLE Cedex 03

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      Article

    • Vendredi 5 octobre 11:00-12:00 - Patrick FOULON - CIRM, CNRS, Marseille

      Intégrabilité et classification orbitale du flot géodésique des métriques Finslériennes de courbure sectionnelle constante positive

      Résumé : We show that the geodesic flow of any Finsler metric of constant positive flag curvature is Liouville integrable. Using this, we show that, in dimension 2, the geodesic flow is conjugate to that of the Katok metrics.
      Based on joint results with R. Bryant, S. Ivanov, V. Matveev and W. Ziller.

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      Patrick FOULON

      Lieu : FRUMAM - Aix-Marseille Université - Site St Charles
      3, place Victor Hugo - case 39
      13331 MARSEILLE Cedex 03

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      Article

  • Équipe Signal et Image (SI)

    • Vendredi 14 septembre 14:00-15:00 - Fabio COSTA - University of Queensland

      Causal learning in a quantum world

      Résumé : Causal reasoning is essential to how we understand and model the world. Quite recently, a general theory of causal modelling has been developed, with the ambitious goal to provide a unified framework for causal discovery across all disciplines. The practical applications of this framework are still unclear, as building algorithms that learn causal structures, as opposed to sheer correlations, remains challenging. However, where the framework fails most dramatically is quantum physics, where causal models are unable to reproduce simple scenarios. What is worse, the ordinary quantum formalism does not support causal inference : one cannot meaningfully ask, given two events, which is the cause and which the effect. This is particularly troubling, as future quantum technologies might require systematic methods to discover cause-effect relations in large networks. I will present a novel formalism that makes quantum inference a well-defined task, with possible applications to the analysis of complex processes. I will discuss how machine-learning techniques can help solving this task in the absence of complete information.

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      Fabio COSTA

      Lieu : CMI, salle de séminaire R164 (1er étage) - I2M - Château-Gombert
      39 rue Frédéric Joliot-Curie
      13453 MARSEILLE cedex 13

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      Article

  • Équipe Analyse, Géométrie et Topologie (AGT)

    • Lundi 17 septembre 14:00-15:00 - André BELOTTO - I2M, Aix-Marseille Université

      La conjecture de Sard sur les surfaces de Martinet

      Résumé : Cet exposé concerne une application de la théorie des singularités à la géométrie sous-riemannienne. Soit Δ une distribution non-holonome de rang 2 sur une variété M de dimension 3. Il est naturel d’étudier la taille de l’ensemble des points X^x qui peuvent être atteint à partir d’un même point x dans M en utilisant des chemins horizontaux singuliers. Dans ce contexte, la conjecture de Sard affirme que X^x devrait être un sous-ensemble de la surface de Martinet Σ-M de mesure de Hausdorff bidimensionnelle zéro.
      Dans ce séminaire, je présenterai un travail en collaboration avec Ludovic Rifford où nous montrons que la conjecture est vrai lorsque la surface de Martinet Σ est lisse. De plus, nous abordons le cas des surfaces de Martinet analytique singulières et montrons que le résultat reste vrai sous une hypothèse de non-transversalité de la distribution Δ sur l’ensemble singulier Sing(Σ) de la surface de Martinet. Nos méthodes reposent sur :
      (i) le contrôle de la divergence des champs de vecteur engendrés par la distribution Δ sur la surface de Martinet Σ et
      (ii) des techniques de résolution des singularités.

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      André BELOTTO DA SILVA

      Lieu : CMI, salle de séminaire R164 (1er étage) - I2M - Château-Gombert
      39 rue Frédéric Joliot-Curie
      13453 MARSEILLE cedex 13

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      Article

    • Lundi 24 septembre 14:00-15:00 - Selim GHAZOUANI - Université de Warwick

      Homéomorphismes du cercle affines par morceaux et surfaces de dilatations

      Résumé : Dans cet exposé, je m’intéresserais à la question suivante : si on tire au hasard un homéomorphisme du cercle affine par morceaux, quel comportement dynamique observe-t-on ?
      Le cas des difféomorphismes du cercle avait été étudié par Herman dans les années 80 et la compréhension de ce problème peut se réduire à des théorèmes de la théorie KAM. 
      Nous proposons ici une approche pour le cas affine par morceaux qui lie l’étude de ce problème à l’étude de certaines structures géométriques sur le tore.

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      Selim GHAZOUANI

      Lieu : CMI, salle de séminaire R164 (1er étage) - I2M - Château-Gombert
      39 rue Frédéric Joliot-Curie
      13453 MARSEILLE cedex 13

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      Article

    • Lundi 1er octobre 14:00-15:00 - Anne Pichon - I2M

      Sur la géométrie Lipschitz locale des espaces singuliers

      Résumé : l’expression "géométrie Lipschitz” fait référence à la catégorie des espaces métriques dont les morphismes sont les applications Lipschitz. Les isomorphismes dans cette catégorie sont les homéomorphismes bi-lipschitz. Un germe d’espace analytique réel (V,0) a deux géométries Lipschitz naturelles induites par le choix d’un plongement de V dans un R^n : la métrique “externe" est définie par la restriction de la distance euclidienne, tandis que la métrique “interne” est définie par l’infimum des longueurs des chemins sur V. L’étude des géométries Lipschitz associées à ces deux métriques est un domaine en plein développement. Je vais expliquer pourquoi, énoncer quelques résultats récents et et donner des questions ouvertes.

      Notes de dernières minutes : TBA

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      Article

    • Lundi 8 octobre 14:00-15:00 - Renaud Leplaideur - Université de Brest

      Séminaire Géométrie, Dynamique et Topologie (GDT)

      Résumé : TBA

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      Article

  • Équipe Analyse, Géométrie et Topologie (AGT)

    • Jeudi 4 octobre 14:00-15:00 - Elisa PRATO - Université de Florence

      Nonrational symplectic toric reduction and cutting.

      Résumé : In this talk, I will discuss generalizations of the symplectic reduction and symplectic cutting operations to the context of nonrational toric geometry (joint work with F. Battaglia). Some examples and applications will be examined.

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      Article

  • Équipe Logique de la Programmation (LDP)

    • Jeudi 13 septembre 11:00-12:30 - Lê Thành Dũng NGUYỄN - LIPN, Paris 13

      Évaluation sémantique en logique linéaire élémentaire

      Résumé : Après avoir passé en revue l’utilisation des techniques d’évaluation sémantique pour caractériser des classes de complexité en lambda-calcul simplement typé (en particulier les travaux de Hillebrand et Kanellakis), nous décrirons un nouveau résultat s’appliquant à une logique du second ordre : les langages décidés par des programmes en logique linéaire élémentaire (ELL) opérant sur des chaînes de Church et de type de sortie !!Bool sont exactement les langages rationnels. (En ajoutant des types récursifs, on obtient tout le temps polynomial, ce qu’a montré Baillot.) La preuve repose principalement sur l’existence d’une sémantique finie de la logique linéaire multiplicative du second ordre, obtenue par quotient observationnel. Ce premier résultat pourrait ouvrir la voie à une étude fine de la complexité dans les logiques allégées, tenant compte du contrôle exercé conjointement par les propriétés géométriques de la syntaxe et le typage, ce dernier étant reflété dans la sémantique. Ainsi, nous formulerons une caractérisation conjecturale de l’espace logarithmique dans ELL.
      Travail réalisé avec Thomas Seiller.

      Lieu : Salle des séminaires 304-306 (3ème étage) - Institut de Mathématiques de Marseille (UMR 7373)
      Site Sud - Bâtiment TPR2
      Campus de Luminy, Case 907
      13288 MARSEILLE Cedex 9

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      Article

    • Jeudi 27 septembre 11:00-12:30 - Jules CHOUQUET - IRIF, Paris 7

      Une application de l’élimination parallèle des coupures en logique linéaire multiplicative sans unités au développement de Taylor des réseaux de preuves

      Résumé : TBA

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      Jules CHOUQUET

      Lieu : Salle des séminaires 304-306 (3ème étage) - Institut de Mathématiques de Marseille (UMR 7373)
      Site Sud - Bâtiment TPR2
      Campus de Luminy, Case 907
      13288 MARSEILLE Cedex 9

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      Article

  • Équipe Probabilités (PROBA)

    • Vendredi 21 septembre 11:00-12:00 - Jürgen ANGST - IRMAR, Université de Rennes

      Sur les zéros des polynômes trigonométriques aléatoires.

      Résumé : Dans cet exposé, on s’intéresse à la géométrie de l’ensemble des zéros réels de polynômes trigonométriques en d variables, polynômes dont les coefficients sont choisis de façon aléatoire. On cherche en particulier à déterminer en quoi les propriétés géométriques de ces ensembles nodaux sont universelles, i.e. dépendent ou non de l’aléa sous-jacent.
      Il s’agit de travaux récents en collaboration avec Federico Dalmao, Viet-Hung Pham et Guillaume Poly.

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      Jürgen ANGST

      Lieu : CMI, salle de séminaire R164 (1er étage) - I2M - Château-Gombert
      39 rue Frédéric Joliot-Curie
      13453 MARSEILLE cedex 13

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      Article

    • Vendredi 28 septembre 11:00-12:00 - Nicolas JUILLET - IRMA, Université de Strasbourg

      Séminaire Probabilités et Statistique (TBA)

      Résumé : TBA

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      Nicolas JUILLET

      Lieu : CMI, salle de séminaire R164 (1er étage) - I2M - Château-Gombert
      39 rue Frédéric Joliot-Curie
      13453 MARSEILLE cedex 13

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      Article

    • Vendredi 5 octobre 11:00-12:00 - Clément Pellegrini - Université de Toulouse

      Séminaire Probabilités et Statistique

      Article

  • Équipe Statistiques (STA)

    • Vendredi 21 septembre 11:00-12:00 - Jürgen ANGST - IRMAR, Université de Rennes

      Sur les zéros des polynômes trigonométriques aléatoires.

      Résumé : Dans cet exposé, on s’intéresse à la géométrie de l’ensemble des zéros réels de polynômes trigonométriques en d variables, polynômes dont les coefficients sont choisis de façon aléatoire. On cherche en particulier à déterminer en quoi les propriétés géométriques de ces ensembles nodaux sont universelles, i.e. dépendent ou non de l’aléa sous-jacent.
      Il s’agit de travaux récents en collaboration avec Federico Dalmao, Viet-Hung Pham et Guillaume Poly.

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      Jürgen ANGST

      Lieu : CMI, salle de séminaire R164 (1er étage) - I2M - Château-Gombert
      39 rue Frédéric Joliot-Curie
      13453 MARSEILLE cedex 13

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      Article

    • Vendredi 28 septembre 11:00-12:00 - Nicolas JUILLET - IRMA, Université de Strasbourg

      Séminaire Probabilités et Statistique (TBA)

      Résumé : TBA

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      Nicolas JUILLET

      Lieu : CMI, salle de séminaire R164 (1er étage) - I2M - Château-Gombert
      39 rue Frédéric Joliot-Curie
      13453 MARSEILLE cedex 13

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      Article

    • Vendredi 5 octobre 11:00-12:00 - Clément Pellegrini - Université de Toulouse

      Séminaire Probabilités et Statistique

      Article

  • Habilitations à Diriger des Recherches (HDR)

    • Mercredi 19 septembre 10:00-11:30 - Marie-Ève GIL - I2M, AA, Aix-Marseille Université

      Analyse d’équations intégro-différentielles et d’EDP non locales issues de la modélisation de dynamiques adaptatives

      Résumé : Soutenance de thèse
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      Ce manuscrit de thèse porte sur l’analyse mathématique de modèles intégro-différentiels issus de la génétique des populations. Les deux modèles étudiés sont des équations de réaction-dispersion de type ∂tp(t,m)=UD[p](t,m)+f[p](t,m)\partial_t p(t,m) = U \mathfrakD[p](t,m) + f[p](t,m). Ils décrivent la dynamique de la distribution de la fitness (ou valeur sélective) dans une population asexuée sous l’effet des mutations et de la sélection représentées respectivement par les termes non locaux UD[p](t,m)U \mathfrakD[p](t,m) et par f[p](t,m)f[p](t,m). La différence entre les deux modèles se situe au niveau du terme de mutation. En effet, dans le premier modèle, les effets des mutations sur la fitness ne dépendent pas de la fitness du parent, cela se traduit donc par un terme de convolution classique : D[p](t,m)=∫RJ(m-y)p(t,y)dy-p(t,m)\mathfrakD[p](t,m) = \int_\mathbbR J(m-y) p(t,y)\, dy - p(t,m).
      Lorsqu’une mutation a lieu, la fonction J(m-y) J(m-y) représente la densité de probabilité pour un individu de fitness yy d’avoir un descendant de fitness mm. Le taux de mutation est donné par la constante UU.
      Dans le second modèle, les effets des mutations sur la fitness dépendent aussi de la fitness du parent. Dans ce cas, un individu de fitness yy a un descendant de fitness mm avec la densité de probabilité Jy(m-y)J_y(m-y). Ce type de dépendance apparaît naturellement lorsque l’on suppose qu’il existe une fitness optimale (ou encore un optimum phénotypique).
      Pour chacun des deux modèles, nous établissons dans un premier temps des résultats d’existence et d’unicité ainsi que des propriétés de décroissance de la solution. Cette décroissance permet de définir la fonction génératrice des cumulants (CGF) associée à la distribution de fitness. La CGF est la solution d’une équation de transport non locale. Pour le premier modèle, l’étude de cette équation permet d’obtenir une solution analytique et donc d’obtenir une description complète de la distribution p(t,m)p(t,m) via ses moments.
      Nous étudions ensuite les états stationnaires pour chacun des deux modèles, et établissons des conditions suffisantes pour l’existence et la non-existence de phénomènes de concentration, correspondant à une accumulation d’individus de phénotypes optimaux.
      Nos résultats sont comparés à des sorties de modèles stochastiques individu-centrés représentant le même type de dynamiques évolutives.
      -
      Abstract :
      This manuscript is devoted to the mathematical analysis of integro-differential models from population genetics. Both models are reaction-dispersion equations of the form ∂tp(t,m)=UD[p](t,m)+f[p](t,m)\partial_t p(t,m) = U \mathfrakD[p](t,m) + f[p](t,m). They describe the dynamics of fitness distribution in an asexual population under the effect of mutation and selection. These two processes are represented by the nonlocal terms UD[p](t,m) and by f[p](t,m) respectively. The difference between the models rests on the mutation term. Indeed, in the first model, the mutation effects on fitness do not depend on the fitness of the parent.
      Thus, the mutation term is a standard convolution product : D[p](t,m)=∫RJ(m-y)p(t,y)dy-p(t,m)\mathfrakD[p](t,m) = \int_\mathbbR J(m-y) p(t,y)\, dy - p(t,m).
      When a mutation occurs, the function J(m-y) represents the density of probability for an individual with fitness yy to have an offspring with fitness m. The mutation rate is given by the constant U.
      In the second model, the mutation effects on fitness depend on the fitness of the parent. In this case, an individual with fitness y has an offspring with fitness m with a probability density Jy(m-y). This type of dependence naturally arises when the existence of an optimal fitness (or a phenotypic optimum) is assumed. For both models, we first establish existence and uniqueness results as well as decay properties of the solution. The decay property allows us to define the cumulant generating function (CGF). The CGF obeys a nonlocal transport equation. In the first model, we compute the analytical solution of this transport equation and thus, we obtain a complete description of the distribution p(t,m)p(t,m) through its moments. Then, we study the stationary states for both models, and establish sufficient conditions for the existence and non-existence of a concentration phenomenon corresponding to an accumulation of individuals with best possible phenotype.
      The results are compared to the results of stochastic individual based models which represent the same kind of evolutionary dynamics.
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      Membres du jury :
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      - M. Matthieu Alfaro, Maître de conférence, Université de Montpellier, Rapporteur
      - Mme Assia Benabdallah, Professeur des universités, Aix-Marseille Université, Examinatrice
      - M. Vincent Calvez, Directeur de Recherche, CNRS, Examinateur
      - Mme Guillemette Chapuisat, Maître de conférence, Aix-Marseille Université, Examinatrice
      - M. Arnaud Ducrot, Professeur des universités, Université du Havre, Rapporteur
      - M. François Hamel, Professeur des université, Aix-Marseille Université, Directeur de thèse
      - M. Guillaume Martin, Chargé de recherche, CNRS, Examinateur
      - M. Lionel Roques, Directeur de recherche, INRA, Directeur de thèse.
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      Liens :
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      Lieu : Salle des Voûtes - Aix-Marseille Université - Site St Charles
      3, place Victor Hugo - case 39
      13331 MARSEILLE Cedex 03

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    • Mercredi 26 septembre 13:30-15:00 - Damien ALLONSIUS - I2M, AA, Aix-Marseille Université

      Étude spectrale d’opérateurs de Sturm-Liouville et applications à la contrôlabilité de problèmes paraboliques discrets et continus

      Résumé : Soutenance de thèse
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      Dans cette thèse, nous étudions la contrôlabilité à zéro de quelques systèmes paraboliques continus et semi-discrétisés.
      Nous considérons tout d’abord des systèmes en cascade d’équations paraboliques de la forme $\partial_t f - \partial_x(\gamma \partial_x f)=0$. La variable spatiale évolue dans un intervalle réel borné et ce système est semi-discrétisé en espace par un schéma aux différences finies. En appliquant la méthode des moments, nous démontrons des résultats de contrôlabilité à zéro et de $\phi(h)$ contrôlabilité à zéro, suivant les hypothèses formulées sur le maillage et les fonctions $\gamma$ et $q$. Puis nous étendons ces résultats lorsque la variable d’espace évolue dans un domaine cylindrique, la zone de contrôle se situant dans une partie d’une section au bord du cylindre. Ce domaine cylindrique se décompose en un produit de deux espaces. Sur le premier, de dimension 1, nous appliquons les résultats décrits précédemment. Sur le second, nous appliquons la méthode de Lebeau-Robbiano. Cette approche permet à la fois de montrer que le problème discrétisé est $\phi(h)$ contrôlable à zéro et de retrouver un résultat de contrôlabilité à zéro sur le système continu.
      Dans une autre partie, nous nous intéressons au temps minimal de contrôle à zéro de l’équation de Grushin $\partial_t f - \partial_xx f - |x|^2\gamma \partial_yy f =0$ posée sur un domaine rectangulaire dont le domaine de contrôle est une bande verticale. L’étude se ramène à une infinité dénombrable, indexée par le paramètre de Fourier $n$, de problèmes de contrôle à zéro d’équations paraboliques, traitée, ici encore, à l’aide de la méthode des moments.
      Cette dernière requiert des estimations précises sur le spectre d’opérateurs de Sturm-Liouville. Nous établissons, d’une part, des minorations sur certaines quantités dépendant des fonctions propres de ces opérateurs et nous étudions d’autre part la propriété de gap de leurs valeurs propres. Pour appliquer la méthode des moments aux différents problèmes de contrôle présentés tout au long de ce mémoire, il est alors crucial que ces estimations soient uniformes tantôt en le paramètre de discrétisation tantôt en le paramètre $n$. La théorie spectrale de ces opérateurs constitue donc la clef de voûte de cette thèse.
      Les résultats présents dans cet exposé sont illustrés et complétés par de nombreuses simulations numériques, basés sur la méthode HUM.
      -
      Abstract : In this thesis, we study the null controllability of some continous and semi discretized parabolic systems.
      We first consider cascade systems of parabolic equations of the form $\partial_t f - \partial_x(\gamma \partial_x f)=0$. The space variable belongs to a real and bounded interval and this system is semi-discretized in space by a finite differences scheme. Applying the so called moments method, we prove null controllability and $\phi(h)$ null controllability results, depending on the hypotheses on the mesh and on functions $\gamma$ and $q$. Then, we extend this results when the space variable belongs to a cylindrical domain which control zone is in a section at the border of the cylinder. This cylindrical domain is decomposed into a product of two spaces. On the first, of dimension 1, we apply the results described previously. On the second, we use the Lebeau-Robbiano’s procedure. In this framework, we prove $\phi(h)$ null controllability results on the discretized domain as well as null controllability results on the continous problem.
      In another section, we investigate the computation of minimal time of null controllability of Grushin’s equation $\partial_t f - \partial_xx f - |x|^2\gamma \partial_yy f =0$ defined on a rectangular domain which control region is a vertical strip. This problem of control amounts to study a countably infinite family, indexed by the Fourier parameter $n$, of null control problems of parabolic equations, tackled, once again, with the moments method. The latter requires precise estimates on the spectrum of Sturm-Liouville operators. We prove lower bounds on quantities depending on the eigenfunctions of these operators and we study the gap property of their eigenvalues. To tackle control problems addressed in this manuscript, it is crucial that our estimates are uniform with respect to the discretization parameter or the parameter $n$. Spectral theory of these operators is therefore the keystone of this thesis.
      Our results are illustrated and complemented by numerical simulations, based on the HUM approach.
      -
      Membres du jury :
      -
      - Karine BEAUCHARD, Professeur, ENS Rennes (Examinatrice)
      - Assia BENABDALLAH, Professeur, Aix-Marseille Université (Examinatrice)
      - Franck BOYER, Professeur, Université Paul Sabatier (Directeur)
      - Nicolae CINDEA, Maître de conférence, Université Clermont Auvergne (Examinateur)
      - Enrique FERNÁNDEZ-CARA, Professeur, Universidad de Sevilla (Rapporteur)
      - Otared KAVIAN, Professeur, Université de Versailles (Examinateur)
      - Morgan MORANCEY, Maître de conférence, Aix-Marseille Université (Directeur)
      - Yannick PRIVAT, Professeur, Université de Strasbourg (Rapporteur)
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      Damien ALLONSIUS

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      Liens :
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      Lieu : CMI - Salle C001 - I2M - Château-Gombert
      39 rue Frédéric Joliot-Curie
      13453 MARSEILLE cedex 13

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  • Soutenances de thèses de doctorat

    • Mercredi 19 septembre 10:00-11:30 - Marie-Ève GIL - I2M, AA, Aix-Marseille Université

      Analyse d’équations intégro-différentielles et d’EDP non locales issues de la modélisation de dynamiques adaptatives

      Résumé : Soutenance de thèse
      -
      Ce manuscrit de thèse porte sur l’analyse mathématique de modèles intégro-différentiels issus de la génétique des populations. Les deux modèles étudiés sont des équations de réaction-dispersion de type ∂tp(t,m)=UD[p](t,m)+f[p](t,m)\partial_t p(t,m) = U \mathfrakD[p](t,m) + f[p](t,m). Ils décrivent la dynamique de la distribution de la fitness (ou valeur sélective) dans une population asexuée sous l’effet des mutations et de la sélection représentées respectivement par les termes non locaux UD[p](t,m)U \mathfrakD[p](t,m) et par f[p](t,m)f[p](t,m). La différence entre les deux modèles se situe au niveau du terme de mutation. En effet, dans le premier modèle, les effets des mutations sur la fitness ne dépendent pas de la fitness du parent, cela se traduit donc par un terme de convolution classique : D[p](t,m)=∫RJ(m-y)p(t,y)dy-p(t,m)\mathfrakD[p](t,m) = \int_\mathbbR J(m-y) p(t,y)\, dy - p(t,m).
      Lorsqu’une mutation a lieu, la fonction J(m-y) J(m-y) représente la densité de probabilité pour un individu de fitness yy d’avoir un descendant de fitness mm. Le taux de mutation est donné par la constante UU.
      Dans le second modèle, les effets des mutations sur la fitness dépendent aussi de la fitness du parent. Dans ce cas, un individu de fitness yy a un descendant de fitness mm avec la densité de probabilité Jy(m-y)J_y(m-y). Ce type de dépendance apparaît naturellement lorsque l’on suppose qu’il existe une fitness optimale (ou encore un optimum phénotypique).
      Pour chacun des deux modèles, nous établissons dans un premier temps des résultats d’existence et d’unicité ainsi que des propriétés de décroissance de la solution. Cette décroissance permet de définir la fonction génératrice des cumulants (CGF) associée à la distribution de fitness. La CGF est la solution d’une équation de transport non locale. Pour le premier modèle, l’étude de cette équation permet d’obtenir une solution analytique et donc d’obtenir une description complète de la distribution p(t,m)p(t,m) via ses moments.
      Nous étudions ensuite les états stationnaires pour chacun des deux modèles, et établissons des conditions suffisantes pour l’existence et la non-existence de phénomènes de concentration, correspondant à une accumulation d’individus de phénotypes optimaux.
      Nos résultats sont comparés à des sorties de modèles stochastiques individu-centrés représentant le même type de dynamiques évolutives.
      -
      Abstract :
      This manuscript is devoted to the mathematical analysis of integro-differential models from population genetics. Both models are reaction-dispersion equations of the form ∂tp(t,m)=UD[p](t,m)+f[p](t,m)\partial_t p(t,m) = U \mathfrakD[p](t,m) + f[p](t,m). They describe the dynamics of fitness distribution in an asexual population under the effect of mutation and selection. These two processes are represented by the nonlocal terms UD[p](t,m) and by f[p](t,m) respectively. The difference between the models rests on the mutation term. Indeed, in the first model, the mutation effects on fitness do not depend on the fitness of the parent.
      Thus, the mutation term is a standard convolution product : D[p](t,m)=∫RJ(m-y)p(t,y)dy-p(t,m)\mathfrakD[p](t,m) = \int_\mathbbR J(m-y) p(t,y)\, dy - p(t,m).
      When a mutation occurs, the function J(m-y) represents the density of probability for an individual with fitness yy to have an offspring with fitness m. The mutation rate is given by the constant U.
      In the second model, the mutation effects on fitness depend on the fitness of the parent. In this case, an individual with fitness y has an offspring with fitness m with a probability density Jy(m-y). This type of dependence naturally arises when the existence of an optimal fitness (or a phenotypic optimum) is assumed. For both models, we first establish existence and uniqueness results as well as decay properties of the solution. The decay property allows us to define the cumulant generating function (CGF). The CGF obeys a nonlocal transport equation. In the first model, we compute the analytical solution of this transport equation and thus, we obtain a complete description of the distribution p(t,m)p(t,m) through its moments. Then, we study the stationary states for both models, and establish sufficient conditions for the existence and non-existence of a concentration phenomenon corresponding to an accumulation of individuals with best possible phenotype.
      The results are compared to the results of stochastic individual based models which represent the same kind of evolutionary dynamics.
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      Membres du jury :
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      - M. Matthieu Alfaro, Maître de conférence, Université de Montpellier, Rapporteur
      - Mme Assia Benabdallah, Professeur des universités, Aix-Marseille Université, Examinatrice
      - M. Vincent Calvez, Directeur de Recherche, CNRS, Examinateur
      - Mme Guillemette Chapuisat, Maître de conférence, Aix-Marseille Université, Examinatrice
      - M. Arnaud Ducrot, Professeur des universités, Université du Havre, Rapporteur
      - M. François Hamel, Professeur des université, Aix-Marseille Université, Directeur de thèse
      - M. Guillaume Martin, Chargé de recherche, CNRS, Examinateur
      - M. Lionel Roques, Directeur de recherche, INRA, Directeur de thèse.
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      Résumé : Soutenance de thèse
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      Dans cette thèse, nous étudions la contrôlabilité à zéro de quelques systèmes paraboliques continus et semi-discrétisés.
      Nous considérons tout d’abord des systèmes en cascade d’équations paraboliques de la forme $\partial_t f - \partial_x(\gamma \partial_x f)=0$. La variable spatiale évolue dans un intervalle réel borné et ce système est semi-discrétisé en espace par un schéma aux différences finies. En appliquant la méthode des moments, nous démontrons des résultats de contrôlabilité à zéro et de $\phi(h)$ contrôlabilité à zéro, suivant les hypothèses formulées sur le maillage et les fonctions $\gamma$ et $q$. Puis nous étendons ces résultats lorsque la variable d’espace évolue dans un domaine cylindrique, la zone de contrôle se situant dans une partie d’une section au bord du cylindre. Ce domaine cylindrique se décompose en un produit de deux espaces. Sur le premier, de dimension 1, nous appliquons les résultats décrits précédemment. Sur le second, nous appliquons la méthode de Lebeau-Robbiano. Cette approche permet à la fois de montrer que le problème discrétisé est $\phi(h)$ contrôlable à zéro et de retrouver un résultat de contrôlabilité à zéro sur le système continu.
      Dans une autre partie, nous nous intéressons au temps minimal de contrôle à zéro de l’équation de Grushin $\partial_t f - \partial_xx f - |x|^2\gamma \partial_yy f =0$ posée sur un domaine rectangulaire dont le domaine de contrôle est une bande verticale. L’étude se ramène à une infinité dénombrable, indexée par le paramètre de Fourier $n$, de problèmes de contrôle à zéro d’équations paraboliques, traitée, ici encore, à l’aide de la méthode des moments.
      Cette dernière requiert des estimations précises sur le spectre d’opérateurs de Sturm-Liouville. Nous établissons, d’une part, des minorations sur certaines quantités dépendant des fonctions propres de ces opérateurs et nous étudions d’autre part la propriété de gap de leurs valeurs propres. Pour appliquer la méthode des moments aux différents problèmes de contrôle présentés tout au long de ce mémoire, il est alors crucial que ces estimations soient uniformes tantôt en le paramètre de discrétisation tantôt en le paramètre $n$. La théorie spectrale de ces opérateurs constitue donc la clef de voûte de cette thèse.
      Les résultats présents dans cet exposé sont illustrés et complétés par de nombreuses simulations numériques, basés sur la méthode HUM.
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      Abstract : In this thesis, we study the null controllability of some continous and semi discretized parabolic systems.
      We first consider cascade systems of parabolic equations of the form $\partial_t f - \partial_x(\gamma \partial_x f)=0$. The space variable belongs to a real and bounded interval and this system is semi-discretized in space by a finite differences scheme. Applying the so called moments method, we prove null controllability and $\phi(h)$ null controllability results, depending on the hypotheses on the mesh and on functions $\gamma$ and $q$. Then, we extend this results when the space variable belongs to a cylindrical domain which control zone is in a section at the border of the cylinder. This cylindrical domain is decomposed into a product of two spaces. On the first, of dimension 1, we apply the results described previously. On the second, we use the Lebeau-Robbiano’s procedure. In this framework, we prove $\phi(h)$ null controllability results on the discretized domain as well as null controllability results on the continous problem.
      In another section, we investigate the computation of minimal time of null controllability of Grushin’s equation $\partial_t f - \partial_xx f - |x|^2\gamma \partial_yy f =0$ defined on a rectangular domain which control region is a vertical strip. This problem of control amounts to study a countably infinite family, indexed by the Fourier parameter $n$, of null control problems of parabolic equations, tackled, once again, with the moments method. The latter requires precise estimates on the spectrum of Sturm-Liouville operators. We prove lower bounds on quantities depending on the eigenfunctions of these operators and we study the gap property of their eigenvalues. To tackle control problems addressed in this manuscript, it is crucial that our estimates are uniform with respect to the discretization parameter or the parameter $n$. Spectral theory of these operators is therefore the keystone of this thesis.
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