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Institut de Mathématiques de Marseille, UMR 7373
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Sébastien DARSES - On generalized Nyman-Beurling criteria
vendredi
25
octobre
2019
11h00 - 12h00
horaire CMI, salle de séminaire R164 (1er étage)

I2M - Château-Gombert
39 rue Frédéric Joliot-Curie
13453 MARSEILLE cedex 13

Sébastien DARSES (I2M, Aix-Marseille Université)

One of the innocent reformulations of terrifying conjecture RH is the Nyman-Beurling-Baez-Duarte criterion : the indicator function of (0,1) can be linearly approximated in a L^2 space by dilations of the fractional part function.
We will discuss the interest of randomizing these dilations, which generates entirely new structures and criteria, and answers an open question raised by Baez-Duarte in 2005. I will eventually tell you a little story. Joint work with Erwan Hillion.

Sébastien DARSES
Luc GIFFON - QuicK-means : Acceleration of K-means by learning a fast transform
vendredi
25
octobre
2019
14h00 - 15h00
horaire CMI, salle de séminaire R164 (1er étage)

I2M - Château-Gombert
39 rue Frédéric Joliot-Curie
13453 MARSEILLE cedex 13

Luc GIFFON (LIS, Aix-Marseille Université)

K-means — and the celebrated Lloyd algorithm — is more than the clustering method it was originally designed to be. It has indeed proven pivotal to help increase the speed of many machine learning and data analysis techniques such as indexing, nearest-neighbor search and prediction, data compression, Radial Basis Function networks ; its beneficial use has been shown to carry over to the acceleration of kernel machines (when using the Nyström method). Here, we propose a fast extension of K-means, dubbed QuicK-means, that rests on the idea of expressing the matrix of the 𝐾 centroids as a product of sparse matrices, a feat made possible by recent results devoted to find approximations of matrices as a product of sparse factors. Using such a decomposition squashes the complexity of the matrix-vector product between the factorized 𝐾×𝐷 centroid matrix 𝐔 and any vector from O(𝐾𝐷) to O(𝐴log𝐴+𝐵), with 𝐴=min(𝐾,𝐷) and 𝐵=max(𝐾,𝐷), where 𝐷 is the dimension of the training data. This drastic computational saving has a direct impact in the assignment process of a point to a cluster, meaning that it is not only tangible at prediction time, but also at training time, provided the factorization procedure is performed during Lloyd’s algorithm. We precisely show that resorting to a factorization step at each iteration does not impair the convergence of the optimization scheme and that, depending on the context, it may entail a reduction of the training time. Finally, we provide discussions and numerical simulations that show the versatility of our computationally-efficient QuicK-means algorithm.

Luc GIFFON
Andrea GAGNA - Sur la théorie de l’homotopie des 3-catégories strictes
vendredi
25
octobre
2019
14h00 - 16h00
horaire Polytech Marseille (amphi C)

Parc scientifique et technologique de Luminy
163 avenue de Luminy
Case 925
13288 Marseille Cedex 09

Andrea GAGNA (I2M, AGLR-LDP, Aix-Marseille Université)

Soutenance de thèse
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Sur la théorie de l’homotopie des 3-catégories strictes

Cette thèse s’inscrit dans le cadre d’un projet visant à comprendre la théorie de l’homotopie des n-catégories strictes et en particulier des 3-catégories strictes, la dimension 3 étant la plus petite dimension mal comprise. Dans la première partie de ce travail, on montre que le nerf de Street, foncteur qui à toute n-catégorie stricte associe un ensemble simplicial, induit une équivalence en homotopie entre les n-catégories strictes et les types d’homotopie d’espaces, pour $1 \leq n \leq \infty$.
Notre stratégie nous permet également de démontrer une équivalence en homotopie entre une catégorie de complexes de chaînes, les complexes dirigés augmentés de Steiner, et les types d’homotopie. Dans la deuxième partie de cette thèse, on introduit une notion de 3-foncteur oplax normalisé entre 3-catégories strictes, morphismes de 3-catégories ne respectant les compositions qu’à des contraintes orientées près, ces contraintes étant soumises à certaines cohérences. On prouve que notre définition est
équivalente à une seconde définition, définie en termes de morphismes d’ensembles simpliciaux entre nerfs de Street, ce qui nous permet de montrer que nos 3-foncteurs oplax normalisés se composent. On décrit explicitement une opération de strictification donnant une bijection entre les 3-foncteurs oplax normalisés de source une petite catégorie sans boucle et les 3-foncteurs de source le strictifié. Enfin, dans la dernière partie, on travaille à la généralisation au cadre 3-catégorique de la structure de catégorie de modèles dite « à la Thomason » établie dans les cadres 1-catégorique et 2-catégorique. En particulier, on donne une description explicite de certaines sommes amalgamées de 3-catégories strictes, généralisant des sommes amalgamées 2-catégoriques apparaissant au cœur des arguments 2-catégoriques. Enfin, on fournit des éléments de réflexion sur l’utilisation de ces résultats et de nos 3-foncteurs oplax normalisés pour obtenir la structure de catégorie de modèles à la Thomason recherchée.
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On the homotopy theory of strict 3-categories
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This thesis is part of a project aiming to understand the homotopy theory of strict n-categories and in particular of strict 3-categories, the dimension 3 being the smallest dimension not well-understood.
In the first part of this work, I show that the Street nerve, functor that to any strict n-category associates a simplicial set, induces an equivalence in homotopy between strict n-categories and the homotopy types of spaces, for $1 \leq n \leq \infty$. Our strategy also allows us to prove an equivalence in homotopy between a category of chain complexes, Steiner’s augmented directed complexes, and the homotopy types.
In the second part of this thesis, I introduce a notion of normalised oplax 3-functor between strict 3-categories, morphisms of 3-categories respecting compositions only up to oriented coherences. I prove that this definition is equivalent to a second definition, described by means of morphisms of simplicial sets between Street nerves, which allows to show that our normalised oplax 3-functors compose. I explicitly describe a strictification operation giving a bijection between normalised oplax 3-functors with source a small loop-free category and the 3-functors with source its strictification. Finally, in the last part, I work on the generalisation of the so-called "Thomason model category structure" into the setting of 3-categories, which has been already established in the 1-categorical and 2-categorical case. In particular, I give an explicit description of certain pushouts of strict 3-categories, generalising the pushouts of 2-categories lying at the heart of the 2-categorical arguments.
Finally, I provide some considerations on using these results and our normalised oplax 3-functors to get the desired Thomason model structure.
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Membres du jury : liste partielle
M. Yves LAFONT - Professeur, Université d’Aix-Marseille - Directeur
M. Dimitri ARA - Maître de Conférences, Université d’Aix-Marseille - Codirecteur
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Andrea GAGNA

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(lien à venir)


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Liens :
- theses.fr
- Fiche de l’ED184

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