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URL:https://www.i2m.univ-amu.fr/evenements/action-du-groupe-de-weyl-sur-l-
 espace-des-vecteurs-ma-invariants/
SUMMARY:Ilia Smilga (IHES\, Bures-sur-Yvette / HSE\, Moscow): Action du gro
 upe de Weyl sur l'espace des vecteurs MA-invariants
DESCRIPTION:Ilia Smilga: Soit $G$ un groupe de Lie réel semisimple\, $\\ma
 thfrak{a}$ son "sous-espace de Cartan" ou "tore déployé maximal" (sous-a
 lgèbre abélienne diagonalisable sur $\\mathbb{R}$ maximale). On peut alo
 rs définir son groupe de Weyl restreint $W$\, comme le quotient du normal
 isateur de $\\mathfrak{a}$ par son centralisateur. (Je donnerai des exempl
 es concrets).\nConsidérons maintenant une représentation irréductible d
 e dimension finie $\\rho$ de ce groupe (agissant sur un espace $V$). Alors
  $W$ a une action bien définie sur le sous-espace $V^L$ formé par les ve
 cteurs de $V$ fixés par le normalisateur de $\\mathfrak{a}$\, appelé $MA
 $ ou $L$.\nDans le groupe de Weyl (restreint)\, un rôle spécial est jou
 é par le "mot le plus long" $w_0$\, qui envoie les racines (restreintes) 
 positives sur les racines (restreintes) négatives. Nous nous posons la qu
 estion suivante : dans quels cas ce $w_0$ a-t-il une action non triviale s
 ur $V^L$ ? (Cette question est motivée par une certaine question en dynam
 ique des groupes de transformations affines.)\nCette question se décompos
 e naturellement en deux parties : quelles sont les représentations pour l
 esquelles\, déjà\, $V^L$ est non trivial ? et puis\, parmi celles-ci\, q
 uelles sont celles où\, en plus\, $w_0$ agit non-trivialement sur $V^L$ ?
  Dans le cas particulier où $G$ est déployé\, la première question est
  très facile\, et nous avons trouvé la réponse à la deuxième\, qui es
 t : "presque toutes". Dans le cas général\, j'ai récemment obtenu la r
 éponse à la première question\, et pour la deuxième question je dispos
 e d'une conjecture. Je vais présenter tous ces travaux.
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CATEGORIES:Séminaire,Dynamique et Topologie
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