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URL:https://www.i2m.univ-amu.fr/evenements/approximation-diophantienne-sur
 -l-ensemble-triadique-de-cantor/
SUMMARY:Arnaud Durand (Laboratoire de Mathématiques d'Orsay\, Université 
 Paris-Diderot): Approximation diophantienne sur l'ensemble triadique de Ca
 ntor
DESCRIPTION:Arnaud Durand: Pour μ ≥ 2\, on désigne par M(μ) l’ensemb
 le des nombres réels approchables à l’ordre au moins μ par des nombre
 s rationnels. Il y a plus de 80 ans\, Jarník et Besicovitch ont montré d
 e façon indépendante que la dimension de Hausdorff de M(μ) est égale 
 à 2∕μ. Nous nous intéresserons à la taille de l’intersection de M(
 μ) avec des sous-ensembles compacts Ahlfors-réguliers de l’intervalle 
 [0\, 1]. En particulier\, dans la lignée d’un problème posé par Mahle
 r\, nous proposerons une conjecture pour la valeur exacte de la dimension 
 de l’intersection de M(μ) avec l’ensemble triadique de Cantor\, et no
 us donnerons plusieurs résultats pour appuyer celle-ci. Nous montrerons e
 n particulier que cette conjecture est vérifiée pour un modèle probabil
 iste qui rend naturellement compte de la distribution des rationnels. L’
 étude repose de manière générale sur des estimées de dimension pour l
 ’ensemble des points d’un ensemble Ahlfors-régulier soumis à des con
 ditions d’approximation par un système de points aléatoires. Il s’ag
 it d’un travail commun avec Yann Bugeaud (Strasbourg).\nDiophantine appr
 oximation on the middle-third Cantor set\n\n\n\nFor μ ≥ 2\, we denote b
 y M(μ) the set of real numbers approximate to order at least μ by ration
 al numbers. Over 80 years ago\, Jarník and Besicovitch independently show
 ed that the Hausdorff dimension of M(μ) is equal to 2 ∕μ. We are inter
 ested in the size of the intersection of M(μ) with compact Ahlfors-regula
 r subsets of the interval [0\, 1]. In particular\, in line with a problem 
 posed by Mahler\, we will propose a conjecture for the exact value of the 
 dimension of the intersection of M(μ) with the triadic set of Cantor\, an
 d we will give several results to support that -this. We will show in part
 icular that this conjecture holds for a probabilistic model which naturall
 y accounts for the distribution of rationals. The study is generally based
  on dimension estimates for the set of points of an Ahlfors-regular set su
 bjected to approximation conditions by a system of random points. This is 
 a joint effort with Yann Bugeaud (Strasbourg).\n\nhttps://hal.archives-ouv
 ertes.fr/hal-00826895\n\n&nbsp\;\n\n\n
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CATEGORIES:Séminaire,Analyse et Géométrie
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