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URL:https://www.i2m.univ-amu.fr/evenements/convergence-vers-des-lois-stabl
 es-pour-la-projection-de-cartan-dun-produit-de-matrices-aleatoires-via-une
 -propriete-de-quasi-additivite/
SUMMARY:Axel PENEAU (Université de Tours): Convergence vers des lois stabl
 es pour la projection de Cartan d'un produit de matrices aléatoires via u
 ne propriété de quasi-additivité
DESCRIPTION:Axel PENEAU: On s'intéresse à une marche aléatoire $(g_n = g
 amma_0cdotsgamma_{n-1})$ à pas indépendants et de même loi dans $SL_2(R
 R)$. On appelle projection de Cartan l'application sous-additive $g mapsto
  log|g|$. Il a été montré par Benoist et Quint que si $kappa(gamma_0)$ 
 a un moment d'ordre $2$ fini et que les $g_n$ ne sont pas tous presque sû
 rement dans un sous-groupe virtuellement résoluble de $SL_2(RR)$ alors $k
 appa(g_n)$ satisfait un  théorème central limite auto-normalisé au sens
  où la loi de $(kappa(g_n) - b_n) /a_n$ converge vers une loi normale qua
 nd $b_n$ est l'espérance de de $kappa(g_n)$ et $a_n$ est la racine carré
 e de sa variance. Ce résultat découle du TCL pour les martingales statio
 nnaires. \nSupposons maintenant que $kappa(g_1)$ a un moment d'ordre $2$ i
 nfini\, on s'intéresse aux limites possibles de la loi de $(kappa(g_n) - 
 b_n) /a_n$ pour $a_n$ et $b_n$ des suites arbitraires. Le théorème centr
 al-limite généralisé de Paul Lévi décrit les limites possibles de la 
 loi de $(sum_{k &lt\; n}kappa(gamma_k) - b_n) /a_n$ et donne l'expression 
 des suites $(a_n)$ et $(b_n)$ en fonction de la queue de la loi de $kappa(
 gamma_0)$.\nMalheureusement la somme des projections de Cartan $sum_{k &lt
 \; n}kappa(gamma_k)$ n'est pas égale à la projection de Cartan du produi
 t $kappa(gamma_0cdotsgamma_{n-1})$. De plus\, le théorème central limite
  généralisé pour les martingales étant faux il est hors de question d'
 appliquer la méthode de Benoist et Quint. \nPar chance j'ai obtenu un ré
 sultat de gain de moment duquel on déduit une loi faible des grands nombr
 es pour la différence $kappa(gamma_0cdotsgamma_{n-1})  - sum_{k &lt\; n}k
 appa(gamma_k)$. Ce résultat vient d'une propriété locale-vers-globale d
 e contraction dans les groupes linéaires que j'expliquerais\, d'une const
 ruction astucieuse de temps de renouvellement et d'un argument probabilist
 e élémentaire : le minimum de deux variables aléatoires indépendantes 
 et $L^{1}$-intégrables est $L^{2}$-intégrable.
CATEGORIES:Séminaire,ALEA,Probabilités
LOCATION:Saint-Charles - FRUMAM  (2ème étage)\, 3 Place Victor Hugo\, Mar
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