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URL:https://www.i2m.univ-amu.fr/evenements/convergence-vers-des-lois-stabl
 es-pour-la-projection-de-cartan-dun-produit-de-matrices-aleatoires-via-une
 -propriete-de-quasi-additivite/
SUMMARY:Axel PENEAU (Université de Tours): Convergence to stable laws for 
 a random walk in $SL(\\mathbb{R}^d)$ via almost additivity
DESCRIPTION:Axel PENEAU: On s'intéresse à une marche aléatoire $(M_n = X
 _0 \\cdots X_{n-1})$\n à pas indépendants et de même loi dans $SL(\\mat
 hbb{R}^d)$. On appelle projection de Cartan \nl'application sous-additive 
 \n$\\kappa: M \\mapsto log|M|$. Il a été montré par Benoist et Quint qu
 e si \n$\\kappa(X_0)$ a un moment d'ordre $2$ fini et que les $M_n$ ne son
 t pas tous \npresque sûrement dans un sous-groupe virtuellement résolubl
 e de $SL(\\mathbb{R}^d)$ alors \n$\\kappa(M_n)$ satisfait un  théorème c
 entral limite auto-normalisé au sens où \nla loi de $(\\kappa(M_n) - b_n
 ) /a_n$ converge vers une loi normale quand \n$b_n$ est l'espérance de de
  $\\kappa(M_n)$ et $a_n$ est la racine carrée \nde sa variance. \nCe rés
 ultat découle du TCL pour les martingales stationnaires. \nSupposons main
 tenant que $\\kappa(M_1)$ a un moment d'ordre $2$ infini\, on \ns'intéres
 se  aux limites possibles de la loi de $(\\kappa(M_n) - b_n) /a_n$ \npour 
 $a_n$ et $b_n$  sont des suites arbitraires. Le théorème central-limite 
 généralisé \nde Paul Lévy décrit  les limites possibles de la loi de 
 \n$(\\sum_{k &lt\; n}\\kappa(X_k) - b_n) /a_n$ et donne \nl'expression des
  suites $(a_n)$ et $(b_n)$ en fonction de la queue de la loi de \n$\\kappa
 (X_0)$.\nMalheureusement la somme des projections de Cartan $\\sum_{k &lt\
 ; n}\\kappa(X_k)$ n'est pas \négale à la projection de Cartan du produit
  $\\kappa(X_0 \\cdot X_{n-1})$. De plus\, \nle théorème central limite g
 énéralisé pour les martingales étant faux \nil est hors de question d'
 appliquer la méthode de Benoist et Quint. \nPar chance j'ai obtenu un ré
 sultat de gain de moment duquel on déduit \nune loi faible des grands nom
 bres pour la différence \n$\\kappa(X_0 \\cdots X_{n-1})  - \\sum_{k &lt\;
  n} \\kappa(X_k)$. Ce résultat vient \nd'une propriété locale-vers-glob
 ale de contraction dans les groupes linéaires \nque j'expliquerai\, d'une
  construction astucieuse de temps de renouvellement \net d'un argument pro
 babiliste élémentaire : le minimum de deux variables aléatoires \nindé
 pendantes et $L^{1}$-intégrables est $L^{2}$-intégrable.
CATEGORIES:Séminaire,ALEA,Probabilités
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