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 r-la-fonction-somme-des-chiffres-en-base-2/
SUMMARY:Jordan Emme (I2M\, Aix-Marseille Université): Densités d'ensemble
 s définis par la fonction somme des chiffres en base 2
DESCRIPTION:Jordan Emme: On s'intéresse à des densités d'ensembles défi
 nis via la fonction somme des chiffres en base deux s₂. Plus préciséme
 nt\, pour chaque entier naturel a et pour chaque entier relatif d\, on s'i
 ntéresse à la densité de l'ensemble des entiers naturel n tels que s₂
 (n+a)-s₂(n)=d. On appelle cette densité µₐ(d) et on remarque que µ
 ₐ est une mesure de probabilité sur ℤ. Ces ensembles interviennent na
 turellement en arithmétique\, notamment dans les travaux de Bésineau sur
  les corrélations de certaines fonctions arithmétiques. Ici notre approc
 he est différente et nous faisons d'abord une étude combinatoire des sol
 utions de s₂(n+a)-s₂(n)=d. Nous en donnons une description par des arb
 res et des automates. Ceci permet d'exprimer µₐ comme produit de matric
 es. À partir de cette expression nous donnons des propriétés asymptotiq
 ues de cette mesure de probabilité lorsque a tend vers l'infini (en un se
 ns plus précis que nous définirons). Par exemple\, nous montrons que la 
 norme l² de cette mesure tend vers zéro lorsque a tend vers l'infini. No
 us avons par ailleurs des bornes sur la variance de µₐ pour a "assez gr
 and". Enfin\, dans un travail en commun avec Pascal Hubert reprenant ces r
 ésultats\, nous montrons que µₐ vérifie un théorème central limite.
 \n\nDensities of sets defined by the sum of digits function in base 2\nWe 
 are interested in the densities of sets defined via the sum function of th
 e digits in base two s₂. More precisely\, for each natural integer a and
  for each relative integer d\, we are interested in the density of the set
  of natural integers n such that s₂(n+a)-s₂(n)=d. We call this density
  µₐ (d) and we notice that µₐ is a probability measure on ℤ. These
  sets occur naturally in arithmetic\, in particular in the work of Bésine
 au on the correlations of certain arithmetic functions. Here our approach 
 is different and we first do a combinatorial study of the solutions of s
 ₂(n+a)-s₂(n)=d. We give a description of it by trees and automata. Thi
 s makes it possible to express µₐ as a product of matrices. From this e
 xpression we give asymptotic properties of this probability measure as a t
 ends to infinity (in a more precise sense that we will define). For exampl
 e\, we show that the norm l² of this measure tends to zero as a tends to 
 infinity. We also have bounds on the variance of µₐ for a "large enough
 ". Finally\, in a joint work with Pascal Hubert taking up these results\, 
 we show that µₐ satisfies a central limit theorem.\nhttps://www.imo.uni
 versite-paris-saclay.fr/~emme/exposes/posters/TCL.pdf\n\n&nbsp\;
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CATEGORIES:Séminaire,Ernest
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