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URL:https://www.i2m.univ-amu.fr/evenements/etude-spectrale-doperateurs-de-
 sturm-liouville-et-applications-a-la-controlabilite-de-problemes-paraboliq
 ues-discrets-et-continus/
SUMMARY:Damien Allonsius (I2M\, Aix-Marseille Université): Étude spectral
 e d’opérateurs de Sturm-Liouville et applications à la contrôlabilit
 é de problèmes paraboliques discrets et continus
DESCRIPTION:Damien Allonsius: Dans cette thèse\, nous étudions la contrô
 labilité à zéro de quelques systèmes paraboliques continus et semi-dis
 crétisés.\nNous considérons tout d’abord des systèmes en cascade d
 ’équations paraboliques de la forme $\\partial_t f - \\partial_x(\\gamm
 a \\partial_x f)=0$. La variable spatiale évolue dans un intervalle réel
  borné et ce système est semi-discrétisé en espace par un schéma aux 
 différences finies. En appliquant la méthode des moments\, nous démontr
 ons des résultats de contrôlabilité à zéro et de $\\phi(h)$ contrôla
 bilité à zéro\, suivant les hypothèses formulées sur le maillage et l
 es fonctions $\\gamma$ et $q$. Puis nous étendons ces résultats lorsque 
 la variable d’espace évolue dans un domaine cylindrique\, la zone de co
 ntrôle se situant dans une partie d’une section au bord du cylindre. Ce
  domaine cylindrique se décompose en un produit de deux espaces. Sur le p
 remier\, de dimension 1\, nous appliquons les résultats décrits précéd
 emment. Sur le second\, nous appliquons la méthode de Lebeau-Robbiano. Ce
 tte approche permet à la fois de montrer que le problème discrétisé es
 t $\\phi(h)$ contrôlable à zéro et de retrouver un résultat de contrô
 labilité à zéro sur le système continu.\nDans une autre partie\, nous 
 nous intéressons au temps minimal de contrôle à zéro de l’équation 
 de Grushin $\\partial_t f - \\partial_{xx} f - |x|^{2\\gamma} \\partial_{y
 y} f =0$ posée sur un domaine rectangulaire dont le domaine de contrôle 
 est une bande verticale. L’étude se ramène à une infinité dénombrab
 le\, indexée par le paramètre de Fourier $n$\, de problèmes de contrôl
 e à zéro d’équations paraboliques\, traitée\, ici encore\, à l’ai
 de de la méthode des moments.\nCette dernière requiert des estimations p
 récises sur le spectre d’opérateurs de Sturm-Liouville. Nous établiss
 ons\, d’une part\, des minorations sur certaines quantités dépendant d
 es fonctions propres de ces opérateurs et nous étudions d’autre part l
 a propriété de gap de leurs valeurs propres. Pour appliquer la méthode 
 des moments aux différents problèmes de contrôle présentés tout au lo
 ng de ce mémoire\, il est alors crucial que ces estimations soient unifor
 mes tantôt en le paramètre de discrétisation tantôt en le paramètre $
 n$. La théorie spectrale de ces opérateurs constitue donc la clef de vo
 ûte de cette thèse.\nLes résultats présents dans cet exposé sont illu
 strés et complétés par de nombreuses simulations numériques\, basés s
 ur la méthode HUM.\n\nAbstract: In this thesis\, we study the null contro
 llability of some continous and semi discretized parabolic systems.\nWe fi
 rst consider cascade systems of parabolic equations of the form $\\partial
 _t f - \\partial_x(\\gamma \\partial_x f)=0$. The space variable belongs t
 o a real and bounded interval and this system is semi-discretized in space
  by a finite differences scheme. Applying the so called moments method\, w
 e prove null controllability and $\\phi(h)$ null controllability results\,
  depending on the hypotheses on the mesh and on functions $\\gamma$ and $q
 $. Then\, we extend this results when the space variable belongs to a cyli
 ndrical domain which control zone is in a section at the border of the cyl
 inder. This cylindrical domain is decomposed into a product of two spaces.
  On the first\, of dimension 1\, we apply the results described previously
 . On the second\, we use the Lebeau-Robbiano’s procedure. In this framew
 ork\, we prove $\\phi(h)$ null controllability results on the discretized 
 domain as well as null controllability results on the continous problem.\n
 In another section\, we investigate the computation of minimal time of nul
 l controllability of Grushin’s equation $\\partial_t f - \\partial_{xx} 
 f - |x|^{2\\gamma} \\partial_{yy} f =0$ defined on a rectangular domain wh
 ich control region is a vertical strip. This problem of control amounts to
  study a countably infinite family\, indexed by the Fourier parameter $n$\
 , of null control problems of parabolic equations\, tackled\, once again\,
  with the moments method. The latter requires precise estimates on the spe
 ctrum of Sturm-Liouville operators. We prove lower bounds on quantities de
 pending on the eigenfunctions of these operators and we study the gap prop
 erty of their eigenvalues. To tackle control problems addressed in this ma
 nuscript\, it is crucial that our estimates are uniform with respect to th
 e discretization parameter or the parameter $n$. Spectral theory of these 
 operators is therefore the keystone of this thesis.\nOur results are illus
 trated and complemented by numerical simulations\, based on the HUM approa
 ch.\n*Membres du jury :\n- Karine BEAUCHARD\, Professeur\, ENS Rennes (Exa
 minatrice)\n- Assia BENABDALLAH\, Professeur\, Aix-Marseille Université (
 Examinatrice)\n- Franck BOYER\, Professeur\, Université Paul Sabatier (Di
 recteur)\n- Nicolae CINDEA\, Maître de conférence\, Université Clermont
  Auvergne (Examinateur)\n- Enrique FERNÁNDEZ-CARA\, Professeur\, Universi
 dad de Sevilla (Rapporteur)\n- Otared KAVIAN\, Professeur\, Université de
  Versailles (Examinateur)\n- Morgan MORANCEY\, Maître de conférence\, Ai
 x-Marseille Université (Directeur)\n- Yannick PRIVAT\, Professeur\, Unive
 rsité de Strasbourg (Rapporteur)\n\nLiens :\n- theses.fr\n- Fiche de l'ED
 184
CATEGORIES:Soutenance de thèse,Analyse Appliquée
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