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URL:https://www.i2m.univ-amu.fr/evenements/extension-of-optimal-transport-
 distances-to-positive-measures/
SUMMARY:Hugo Leblanc (I2M): Extension of Optimal Transport Distances to Pos
 itive Measures
DESCRIPTION:Hugo Leblanc: • Lénaïc CHIZAT - Assistant professor\, Écol
 e Polytechnique Fédérale de Lausanne - rapporteur\n• François-Xavier 
 VIALARD - Professeur\, Université Gustave Eiffel - rapporteur et préside
 nt du jury\n• Elsa CAZELLES - Chargée de Recherche\, Université de Tou
 louse - examinatrice\n• Bertrand MICHEL - Professeur\, École Centrale N
 antes - examinateur\n• Nathael GOZLAN - Professeur\, Université Paris C
 ité - examinateur\n• Frédéric RICHARD - Professeur\, Aix-Marseille un
 iversité - examinateur\n• Thibaut LE GOUIC - Maître de conférences\, 
 École Centrale Méditerranée - directeur de thèse\n• Magali TOURNUS -
  Maître de conférences\, École Centrale Méditerranée - codirectrice d
 e thèse\n\nMots clés : transport optimal\, transport optimal déséquili
 bré\, mesure positive\, distance de Wasserstein\, géodésiques\, barycen
 tre\, optimisation\, flot gradient\, convergence faible\, semigroup de Mar
 kov\, équation de Kolmogorov\, Chi-2.\n\nRésumé:\nLa distance de Wasser
 stein est un outil issu de la théorie du transport optimal\, avec des app
 lications dans de nombreux domaines\, notamment l’apprentissage automati
 que\, le traitement d’images\, les statistiques\, la mécanique des flui
 des\, et d’autres encore. Elle fournit un moyen pertinent de quantifier 
 la distance entre des distributions de probabilité en tenant compte de la
  géométrie de l’espace sous-jacent. La limitation qui impose d’avoir
  des mesures de même volume est résolue grâce à la théorie du transpo
 rt optimal déséquilibré\, qui autorise la création et la destruction d
 e masse. Dans ce travail\, nous étudions plus en détail la formulation d
 uale du transport déséquilibré et fournissons une expression analytique
  des géodésiques via une formule de type McCann.\nDans ce cadre\, nous 
 étendons la distance de Wasserstein à l’espace des mesures positives\,
  en visant à préserver ses propriétés essentielles comme l’existence
  de géodésiques pour une interpolation cohérente\, la complétude\, ou 
 le contrôle de la convergence faible des mesures. Nous introduisons deux 
 distances qui constituent des extensions satisfaisantes de la distance p-W
 asserstein aux comportements différents.\nLa première distance\, Wp gén
 éralisé \, est définie pour 1 ≤ p ≤ 2 sur tout espace géodésique 
 borné. Ses géodésiques séparent fortement la création de masse du tra
 nsport. Elle hérite également des propriétés issues des travaux exista
 nts sur la théorie standard du transport optimal déséquilibré. La deux
 ième distance\, notée WOP\, peut être définie pour tout p ≥ 1 sur l
 ’espace des mesures sur R^n. Son interpolation géodésique combine une 
 variation linéaire de masse avec le transport de Wasserstein. Pour WOP\, 
 nous détaillons les géodésiques\, les barycentres\, la structure de var
 iété pseudo-Riemannienne induite\, ainsi que les flots gradients pour le
 s fonctionnelles usuelles sur les mesures.\nDans un second travail\, nous 
 étudions de manière informelle la construction de distances sur l’ense
 mble des mesures de probabilité de sorte que le flot de gradient de la fo
 nctionnelle Chi-2 coïncide avec l’équation d’évolution associé à 
 un générateur infinitésimal adéquat. Les flots gradients sont des cour
 bes qui suivent la direction localement optimale induite par une distance 
 donnée afin de diminuer une fonctionnelle aussi efficacement que possible
 . Le choix d’une distance bien adaptée permet ainsi une convergence rap
 ide vers un minimum\, ce qui est particulièrement utile en optimisation. 
 Mais cela permet aussi d’exprimer une équation d’évolution comme un 
 flot gradient pour une fonctionnelle appropriée\, une perspective utile p
 our l’étude des solutions aux EDPs.\n\nKeywords: optimal transport\, un
 balanced optimal transport\, positive measures\, Wasserstein distance\, ge
 odesics\, barycenter\, optimization\, gradient flow\, weak convergence\, M
 arkov semigroup\, Kolmogorov equation\, Chi-2.\n\nAbstract:\nThe Wasserste
 in distance is a tool from the theory of optimal transport with applicatio
 ns across many fields\, including machine learning\, image processing\, st
 atistics\, fluid mechanics\, and others. It provides a meaningful way to q
 uantify the distance between probability distributions by taking into acco
 unt the geometry of the underlying space. The limitation of the measure ha
 ving the same volumes is overcome with the unbalanced optimal transport th
 eory\, which allows for mass creation and destruction. In this work\, we f
 urther study the duality formulation of unbalanced transport and provide a
 n analytic expression for geodesics via a McCann type formula for this fra
 mework.\nWithin this scope\, we extend the Wasserstein distance to the spa
 ce of positive measures\, aiming to preserve its key properties\, such as 
 the existence of geodesics for coherent interpolation\, completeness\, and
  the ability to metrize weak convergence of measures. We introduce two dis
 tances that provide satisfactory extensions of the p-Wasserstein distance\
 , which differ by their behavior. The first one generalized Wp is defined 
 for 1 ≤ p ≤ 2 on any bounded\, geodesic underlying space. Its associat
 ed geodesics strongly separate mass creation from transport. It also inher
 its several properties from existing studies on the standard framework of 
 unbalanced optimal transport. The second distance\, denoted WOP\, can be d
 efined for any p ≥ 1 for positive measures on R^n . Its associated geode
 sic interpolation combines linear mass variation with Wasserstein transpor
 t. For WOP\, we study the geodesics\, the barycenters\, the induced pseud
 o-Riemannian manifold structure\, and the gradient flows for standard func
 tionals over measures.\nIn a second work\, we informally investigate the c
 onstruction of distances on probability measures for which the gradient fl
 ow of the Chi-2 functional coincides with the evolution equation generated
  by a well-behaved infinitesimal generator. Gradient flows are curves that
  follow the locally optimal direction induced by a given distance in order
  to decrease a functional as efficiently as possible. Choosing a well-adap
 ted distance therefore enables fast convergence toward a minimizer\, which
  is particularly valuable in optimization. Moreover\, it allows an evoluti
 on equation to be expressed as a gradient flow for the appropriate functio
 nal\, a perspective that is useful\nfor studying solutions of PDEs.
CATEGORIES:Soutenance de thèse,ALEA
LOCATION:Saint-Charles - FRUMAM  (2ème étage)\, 3 Place Victor Hugo\, Mar
 seille\, 13003\, France
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