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URL:https://www.i2m.univ-amu.fr/evenements/fractions-continues-uniformemen
 t-bornees/
SUMMARY:Paul Mercat (I2M\, Aix-Marseille Université): Fractions continues 
 uniformément bornées
DESCRIPTION:Paul Mercat: La taille des coefficients d'un développement en 
 fraction continue est quelque chose d'important puisqu'elle permet de cont
 rôler à quel point un nombre réel est bien approché par des nombres ra
 tionnels. Les fractions continues bornées sont ainsi les réels qui sont 
 mal approchés par des rationnels.\nJe parlerai de deux conjectures sur le
 s fractions continues bornées : l'une de McMullen sur les fractions conti
 nues périodiques\, et l'autre de Zaremba sur les fractions continues fini
 es. Les fractions continues peuvent s'interpréter comme des codages de g
 éodésiques de la surface modulaire (quotient de ℋ₂ par SL(2\,ℤ))\;
  les fractions continues périodiques bornées correspondent alors aux gé
 odésiques fermées qui restent dans un compact. Et McMullen propose d'aut
 res interprétations.\nJe présenterai deux constructions de fractions con
 tinues périodiques uniformément bornées\, qui ne suffisent pas à démo
 ntrer la conjecture de McMullen\, mais dont l'une permet d'améliorer la b
 orne qui existait jusqu'alors et l'autre permet de montrer que la conjectu
 re de Zaremba implique celle de McMullen.\nJ'expliquerai aussi le lien qu'
 il y a entre ces conjectures et les exposants critiques de certains monoï
 des de SL(2\,ℤ).\nUniformly bounded continuous fractions\nThe size of th
 e coefficients of a continuous fraction expansion is something important s
 ince it allows to control how well a real number is approximated by ration
 al numbers. The bounded continuous fractions are thus the real numbers whi
 ch are poorly approximated by rational numbers.\nI will talk about two con
 jectures on bounded continued fractions: one from McMullen on periodic con
 tinued fractions\, and the other from Zaremba on finite continued fraction
 s. Continuous fractions can be interpreted as encodings of geodesics of th
 e modular surface (quotient of ℋ₂ by SL (2\, ℤ))\; the bounded perio
 dic continuous fractions then correspond to the closed geodesics which rem
 ain in a compact. And McMullen offers other interpretations.\nI will prese
 nt two constructions of uniformly bounded periodic continued fractions\, w
 hich are not sufficient to prove the McMullen conjecture\, but one of whic
 h allows to improve the bound which existed until then and the other allow
 s to show that the Zaremba conjecture involves McMullen's.\nI will also ex
 plain the link that there is between these conjectures and the critical ex
 ponents of certain monoids of SL (2\, ℤ).\nhttps://arxiv.org/abs/1601.08
 109\n\n&nbsp\;
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CATEGORIES:Séminaire,Ernest
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