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URL:https://www.i2m.univ-amu.fr/evenements/independance-statistique-et-loi
 s-limites-pour-quelques-objets-arithmetiques-hdr-sary-drappeau/
SUMMARY:Sary Drappeau (I2M\, GDAC\, Aix-Marseille Université): Indépendan
 ce statistique et lois limites pour quelques objets arithmétiques
DESCRIPTION:Sary Drappeau: Lieu :\nAmphi 12 du bâtiment B du campus de Lum
 iny (point 21 sur la carte).\n\nComposition du jury\nValérie BERTHÉ\, CN
 RS\, Rapporteure\nValentin BLOMER\, Université de Bonn\, Rapporteur\nRég
 is DE LA BRETÈCHE\, Université Paris Cité\nÉtienne FOUVRY\, Universit
 é Paris Sud\nFlorent JOUVE\, Université de Bordeaux\nKaisa MATOMÄKI\, U
 niversité de Turku Rapporteure\nPhilippe MICHEL\, École Polytechnique F
 édérale de Lausanne\nJoël RIVAT\, Université d’Aix-Marseille\nEmmanu
 el ROYER\, Université Clermont-Auvergne et CNRS\nRésumé\nCe mémoire pr
 ésente les thèmes sur lesquels ont porté mes travaux de recherche depui
 s mon arrivée à l’université d’Aix-Marseille en 2015. Leur problém
 atique commune est de mettre en évidence des comportements statistiques r
 éguliers dans des familles d’objets arithmétiques naturels : les fonct
 ions multiplicatives ou additives\, et les valeurs centrales de certaines 
 familles de fonctions L.\nLa première partie concerne une question centra
 le en théorie multiplicative des nombres : celle d’estimer la corrélat
 ion des valeurs f (n) et g(n + 1)\, où f et g sont deux fonctions multipl
 icatives\, notamment lorsque l’une des deux fonctions est la fonction «
  nombre de diviseurs ». Ce problème est naturellement lié à la répart
 ition de certaines suites dans les progressions arithmétiques\, et trouve
 nt des applications à d’autres questions arithmétiques\, par exemple l
 es zéros de petite hauteur des fonctions L de Dirichlet. Les majorations 
 de sommes d’exponentielles algébriques sont un outil crucial dans cette
  partie du mémoire.\nLa seconde partie concerne certaines fonctions f : Q
  → C nommées par Zagier « formes modulaires quantiques »\, caractéri
 sées par certaines symétries analogues à celles des formes modulaires. 
 Mes collaborations sur ce sujet ont consisté d’une part à établir ces
  relations de modularité quantiques dans certains cas : celui de tordues 
 additives de fonctions L de Dirichlet\, et celui de sommes de symboles de 
 Pochhammer \; et d’autre part à les utiliser pour en déduire\, par des
  méthodes de systèmes dynamiques\, l’existence de lois limites pour le
 s valeurs de f aux nombres rationnels ordonnés par dénominateurs croissa
 nts.\nMots clés : Fonctions multiplicatives\, nombres premiers\, progress
 ions arithmétiques\, sommes de Kloosterman\, formes modulaires\, formule 
 de Kuznetsov\, tordue additive\, forme modulaire quantique\, loi limite\, 
 invariant de Kashaev.\n\n\n\n\n\nStatistical independence and limit laws f
 or some arithmetic objects\nAbstract: This manuscript presents the themes 
 of my research works in Aix-Marseille university since 2015. Their common 
 theme is the search for simple statistical behaviour among families of nat
 ural arithmetical objects: multiplicative or additive functions\, function
 s defined in terms of numeration systems (decimal\, continued fractions...
 ) and central values of L-functions.\nThe first part concerns a key questi
 on in multiplicative number theory: to estimate the correlation of values 
 of f (n) and g(n + 1)\, where f and g are two multiplicative functions\, w
 ith an emphasis on the case of the divisor function. This naturally involv
 es bounds on algebraic exponential sums\, and leads to applications in var
 ious problems\, all linked in some way to the distribution of certain sequ
 ences in arithmetic progressions.\nThe second part concerns maps f : Q →
  C called by Zagier “quantum modular forms”\, which satisfy certain sy
 metries analogous to those satisfied by modular forms. In several collabor
 ations\, we established the modular quantum behaviour in some cases relate
 d to additive twists of central L values\, or to Pochhammer symbols\, and 
 we deduced through methods from dynamical systems the existence of limit l
 aws for values of f along rationals ordered by denominators.\nKeywords: mu
 ltiplicative functions\, prime numbers\, arithmetic progressions\, Klooste
 rman sums\, modular form\, Kuznetsov formula\, additive twist\, quantum mo
 dular form\, limit law\, Kashaev invariant.
CATEGORIES:Soutenance d'HdR,GDAC
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