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URL:https://www.i2m.univ-amu.fr/evenements/l-incompletude-kecekssa/
SUMMARY:Laurent Regnier (I2M\, Aix-Marseille Université): L'incomplétude\
 , kécékssa ?
DESCRIPTION:Laurent Regnier: Les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont
  deux théorèmes célèbres de logique mathématique\, publiés par Kurt 
 Gödel en 1931 dans son article Über formal unentscheidbare Sätze der Pr
 incipia Mathematica und verwandter Systeme (en) (« Sur les propositions
  formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes app
 arentés »). Ils ont marqué un tournant dans l'histoire de la logique e
 n apportant une réponse négative à la question de la démonstration de 
 la cohérence des mathématiques posée plus de 20 ans auparavant par le p
 rogramme de Hilbert.\nLe premier théorème d'incomplétude établit qu'un
 e théorie suffisante pour y démontrer les théorèmes de base de l'arith
 métique est nécessairement incomplète\, au sens où il existe des énon
 cés qui n'y sont ni démontrables\, ni réfutables (un énoncé est démo
 ntrable si on peut le déduire des axiomes de la théorie\, il est réfuta
 ble si on peut déduire sa négation). On parle alors d'énoncés indécid
 ables dans la théorie.\nLe second théorème d'incomplétude est à la fo
 is un corollaire et une formalisation d'une partie de la preuve du premier
 . Il traite le problème des preuves de cohérence d'une théorie : une t
 héorie est cohérente s'il existe des énoncés qui n'y sont pas démontr
 ables (ou\, ce qui revient au même\, si on ne peut y démontrer A et non 
 A) \; par exemple on exprime souvent la cohérence de l'arithmétique par 
 le fait que l'énoncé 0 = 1 n'y est pas démontrable (sachant que bien en
 tendu 0 ≠ 1 l'est). Sous des hypothèses à peine plus fortes que celles
  du premier théorème\, on peut construire un énoncé exprimant la cohé
 rence d'une théorie dans le langage de celle-ci. Le second théorème aff
 irme alors que si la théorie est cohérente cet énoncé ne peut pas en 
 être conséquence\, ce que l'on peut résumer par : « une théorie cohé
 rente ne démontre pas sa propre cohérence ». [wiki]
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CATEGORIES:Séminaire,Kécékssa
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