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URL:https://www.i2m.univ-amu.fr/evenements/mario-shannon-sur-les-flots-dan
 osov-en-dimension-3-et-chirurgies-de-dehn/
SUMMARY:Mario Shannon (IMB\, Dijon): Sur les flots d'Anosov en dimension 3 
 et chirurgies de Dehn
DESCRIPTION:Mario Shannon: Cet exposé porte sur les chirurgies de Dehn et 
 les structures différentielles associées aux flots d'Anosov transitifs e
 n dimension trois. Les flots d'Anosov constituent une classe très importa
 nte des systèmes dynamiques\, par leurs propriétés chaotiques persistan
 tes par perturbations\, autant que par leur riche interaction avec la topo
 logie de la variété ambiante. Bien que beaucoup soient connus sur le com
 portement dynamique et ergodique de ces flots\, il n'y a pas une compréhe
 nsion assez claire sur la classification de ses différentes classes d'éq
 uivalence orbitale. Jusqu'à ce moment\, les plus grands progrès ont ét
 é fait en dimension trois\, où il y une famille de techniques pour la co
 nstruction d'exemples de flot d'Anosov connue comme chirurgies. Pendant la
  réalisation de la thèse\, dans un premier temps nous nous sommes intér
 essés à une chirurgie en particulier\, connue comme la chirurgie de Good
 man. Cette procédure consiste à choisir une orbite périodique du flot e
 t réaliser une chirurgie de Dehn autour de cette orbite\, adaptée au flo
 t d'une façon telle qu'on obtient une nouvelle variété munie d'un flot 
 d'Anosov. La problématique que soulève cette technique est que\, pour la
  réalisation de la chirurgie\, un des paramètres à choisir est une surf
 ace plongée dans la 3-variété et un difféomorphisme défini sur elle. 
 De ce fait\, l'espace de paramètres est\, a priori\, de dimension infinie
  et\, pourtant\, ce n'est pas facile d'avoir un contrôle sur la classe d'
 équivalence du flot obtenu par cette méthode. Il existe une deuxième pr
 océdure\, qui peut-être interprétée comme une version infinitésimale 
 de celle qui précède\, connue comme la chirurgie de Fried. Celle-ci cons
 iste à éclater l'orbite périodique\, obtenant de ce fait un flot défin
 i sur une variété à bord\, puis collapser cette composante de bord d'un
 e façon non-triviale et produire un nouveau flot. Cette chirurgie produit
  des flots univoquement définis\, mais ceux-ci ne sont pas munis d'une st
 ructure hyperbolique naturelle. Ils sont\, par construction\, flots topolo
 giquement d'Anosov.Notre contribution consiste à montrer que\, si on assu
 me de plus que les flots sont transitifs\, alors une chirurgie de Goodman 
 et une chirurgie de Fried autour de la même orbite périodique produisent
  des flots équivalents\, à égal élection de paramètres entiers. Dans 
 un second temps nous avons travaillé sur une question un peu plus abstrai
 te\, mais qui est naturellement liée à certaines procédures techniques 
 dans la construction de flots hyperboliques. C'est le problème de savoir 
 si tout flot dit topologiquement d'Anosov (i.e. expansif et qui satisfait 
 la propriété de shadowing de Bowen correspond à un flot hyperbolique di
 fférentiable\, à équivalence orbitale près. Dans le cas particulier o
 ù le flot est transitif\, il est connu depuis très longtemps qu'il peut 
 être muni d'une structure non-uniformément hyperbolique définie dans le
  complémentaire d'un ensemble fini d'orbites périodiques. La plus grande
  difficulté est de construire des modèles (globalement) hyperboliques as
 sociés au flot original. Dans ce contexte\, notre contribution consiste 
 à montrer que tout flot topologiquement d'Anosov et transitif\, défini d
 ans une variété de dimension trois\, est orbitalement équivalent à un 
 flot d'Anosov lisse.\nDehn surgeries and smooth structures on 3-dimensiona
 l transitive Anosov flows\nThis talk is about Dehn surgeries and smooth st
 ructures associated with transitive Anosov flows in dimension three. Anoso
 v flows constitute a very important class of dynamical systems\, because o
 f its persistent chaotic behaviour\, as well as for its rich interaction w
 ith the topology of the ambient space. Even if a lot is known about the dy
 namical and ergodic properties of these systems\, there is not a clear und
 erstanding about how to classify its different orbital equivalence classes
 . Until now\, the biggest progress has been done in dimension three\, wher
 e there is a family of techniques intended for the construction of Anosov 
 flows called surgeries. During the realization of the thesis\, in a first 
 time we have been interested in a particular surgery method\, known as the
  Goodman surgery. This method consists in make a Dehn surgery on a chosen 
 periodic orbit\, but adapted to the flow\, in such a way to obtain a new m
 anifold equipped with an Anosov flow. For making this surgery\, one of the
  parameters that has to be chosen is an embedded surface in the 3-manifold
  and a diffeomorphism defined on it. Thus\, the parameter space is\, a pri
 ori\, of infinite dimension and it is not easy to have control on the orbi
 tal equivalence class of the obtained flow. There exists a second method\,
  that can be interpreted as an infinitesimal version of the previous one\,
  known as the Fried surgery. It consists in making a blow-up of the flow a
 long the periodic orbit\, obtaining in this way a flow in a manifold with 
 boundary\, for then blowing-down the boundary component in a non-trivial w
 ay and produce a new flow. This surgery produces flows defined in a unique
  way\, but they are not equipped with a natural uniformly hyperbolic struc
 ture. They are\, by construction\, topological Anosov flows.Our contributi
 on is to show that\, if we assume that the flow is transitive\, then a Goo
 dman surgery or a Fried surgery performed on a periodic orbit produce orbi
 tally equivalent flows\, for the same choice of integer parameters.In a se
 cond time\, we have been interested for a more abstract question\, but whi
 ch is also related to some technical issues in the construction of hyperbo
 lic flows. It is the problem of determining if every topologically Anosov 
 flow (i.e. expansive and satisfying the Bowen shadowing property) correspo
 nd to a smooth hyperbolic flow\, up to orbital equivalence. In the particu
 lar case that the flow is transitive\, it has been known that there exists
  a non-uniformly hyperbolic structure defined in the complement of a finit
 e set of periodic orbits. The main difficulty is the construction of (glob
 al) hyperbolic models associated to the original flow.In this setting\, ou
 r contribution is to show that every transitive topologically Anosov flow 
 on a closed manifold is orbital equivalent to a smooth Anosov flow.\nhttps
 ://hal.inria.fr/IMB_UMR5584/tel-02951219v1\n
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