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URL:https://www.i2m.univ-amu.fr/evenements/puissances-de-facteurs-et-de-pr
 oduits-de-blaschke-coefficients-de-fourier-et-applications/
SUMMARY:Karine Isambard-Fouchet (I2M\, Aix-Marseille Université): Puissanc
 es de facteurs et de produits de Blaschke : coefficients de Fourier et app
 lications
DESCRIPTION:Karine Isambard-Fouchet: Sous la direction de Rachid Zarouf et 
 de Alexandre Boritchev.\n\nThèse en préparation à Aix-Marseille \, dans
  le cadre de Mathématiques et informatique de Marseille (184) \, en parte
 nariat avec Institut de Mathématiques de Marseille (équipe de recherche 
 AGT ) depuis le 04-12-2017 .\n\nRésumé :\nLes travaux de recherche effec
 tués dans cette thèse se concentrent dans un premier temps sur l'obtenti
 on de formules asymptotiques lorsque $n$ tend vers l'infini\, du $k^{\\tex
 t{ème}}$ coefficient de Fourier de la puissance $n^{\\text{ème}}$ d'un f
 acteur de Blaschke $b_\\lambda$ associé à un point $\\lambda$ arbitraire
 ment fixé dans le disque unité ouvert. Notant $\\widehat{b_\\lambda^n}(k
 )$ ces coefficients\, nous prolongeons et affinons les résultats existant
 s dans la littérature en établissant des formules asymptotiques de $\\wi
 dehat{b_\\lambda^n}(k)$ quand $n \\rightarrow \\infty$\, pour $k \\geq 0$ 
 quelconque. Ceci nous conduit à étudier huit régions d'appartenance de 
 $k$ où le comportement asymptotique de ces coefficients change. Pour réa
 liser cette étude\, nous utilisons des outils classiques de l'analyse asy
 mptotique : la méthode dite de la phase stationnaire et la méthode dite 
 de la descente la plus raide. Une application de ces méthodes montre que 
 la nature de la décroissance de $\\widehat{b_\\lambda^n}(k)$ quand $n \\r
 ightarrow \\infty$ dépend de la position de $k$ par rapport aux valeurs "
 critiques" $\\alpha_0n$ et $\\alpha_0^{-1}n$\, où $\\alpha_0 = \\frac{1-\
 \lambda}{1+\\lambda}$ et son inverse sont des points stationnaires relatif
 s aux intégrales définissant $\\widehat{b_\\lambda^n}(k)$ dont nous calc
 ulons une formule asymptotique. Des versions uniformes des méthodes évoq
 uées sont requises quand $k$ s'approche de $\\alpha_0n$ ou $\\alpha_0^{-1
 }n$.\nEnsuite\, à titre d'application de nos formules asymptotiques\, nou
 s construisons des fonctions fortement annulaires\, dont les coefficients 
 de Taylor satisfont certaines propriétés de sommation\, ce qui nous perm
 et de généraliser et d'affiner les résultats élaborés par D.D. Bonar\
 , F.W. Carroll et G. Piranian en 1977. En faisant usage de propriétés de
 s polynômes plats\, nous élaborons aussi une autre construction de telle
 s fonctions conçue à partir d'un théorème de E. Bombieri et J. Bourgai
 n (2009).\nDans une autre partie de la thèse\, nous obtenons une majorati
 on asymptotiquement exacte\, lorsque $n$ tend vers l'infini\, de la suite 
 $\\left( \\widehat{B^n} (k) \\right)_{k \\geq 0}$ des coefficients de Four
 ier de la puissance $n^{\\text{ème}}$ d'un produit de Blaschke fini quelc
 onque $B$\, que nous appliquerons dans la dernière partie de la thèse à
  une question d'analyse matricielle/théorie des opérateurs\, énoncée p
 ar J. J. Schäffer en 1970.\nNous élaborons également des exemples const
 ructifs de produits de Blaschke finis qui atteignent nos majorants.\nLe de
 rnier chapitre de cette thèse est consacré à l'étude du conditionnemen
 t de matrices $T \\in \\mathcal{M}_n(\\mathbb{C})$ pour $n$ grand\, matric
 es dont le spectre est donné et qui agissent sur un espace de Hilbert (qu
 estion de P. Halmos) ou sur un espace de Banach (question de J.J. Schäffe
 r). On considère aussi des analogues de ces questions pour certaines clas
 ses spécifiques de matrices\, et nous étudions en particulier le cas des
  matrices dites de Kreiss. Dans le cas hibertien\, on fournit une preuve 
 élémentaire du résultat (connu) de l'existence d'une matrice de Toeplit
 z $T_\\lambda$ de spectre $\\lambda$ atteignant la borne d'Halmos. Dans le
  cas banachique\, nous utilisons notre majoration des coefficients $\\wide
 hat{B^n}(k)$\, lorsque $B$ est un produit de Blaschke fini quelconque\, po
 ur construire des matrices de spectres donnés arbitraires réfutant la co
 njecture de Schäffer. Enfin\, nous démontrons que $T_\\lambda$ est égal
 ement extrémale pour le même problème de mauvais conditionnement\, cett
 e fois regardé sur l'ensemble des matrices de Kreiss.\n\nED184\n\nLien : 
 Theses.fr
CATEGORIES:Soutenance de thèse,AGT
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