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 st-pour-des-diffusions-en-milieu-aleatoire-perturbees-par-une-force-period
 ique-en-temps-quentin-ghibaudo/
SUMMARY:Quentin Ghibaudo (I2M\, Aix-Marseille Université): Relations d’E
 instein et de Nyquist pour des diffusions en milieu aléatoire perturbées
  par une force périodique en temps
DESCRIPTION:Quentin Ghibaudo: Relations d’Einstein et de Nyquist pour des
  diffusions en milieu aléatoire perturbées par une force périodique en 
 temps.\nOn prouve des relations d’Einstein et de Nyquist pour des diffus
 ions en milieu aléatoire perturbées par une force dépendant du temps d
 e manière périodique. Plus précisément\, on considère un processus d
 e diffusion réversible\, évoluant dans un milieu stationnaire et ergodi
 que\, qui en l’absence de perturbation\, converge vers un Brownien centr
 é après un changement d’échelle approprié. Puis\, on perturbe cette 
 diffusion en lui appliquant une force périodique en temps\, et on étudi
 e la réponse de la diffusion à cette perturbation.\nOn montre première
 ment que la diffusion perturbée\, ainsi que ses coefficients de Fourier\,
  satisfont un principe d’invariance sur l’échelle de Lebowitz et Rost
 . Plus précisément\, ces processus convergent\, sous un changement d’
 échelle approprié et en faisant tendre simultanément l’intensité de 
 la force vers 0\, vers un mouvement Brownien de matrice de covariance et d
 érive constantes.\nDans un deuxième temps\, on prouve une loi des grands
  nombres pour la diffusion perturbée ainsi que pour ses coefficients de F
 ourier. On montre que les vitesse limites sont dérivables en 0 par rappor
 t à l’intensité de la force. On calcule ensuite la dérivée en 0 de c
 es vitesses et on établit un lien entre ces dernières et le coefficient 
 de diffusion du Brownien limite de la diffusion non perturbée (resp. de s
 es coefficients de Fourier). Ces relations forment les relations d’Einst
 ein et de Nyquist.\nOn applique finalement ces résultats à deux exemples
  de perturbations.\nDirecteur de thèse : Pierre Mathieu.\n\nJury :\n\nNin
 a Gantert\, Technische Universität München (rapporteure)\;\nStefano Olla
 \, Université Paris-Dauphine (rapporteur)\;\nFrançois Hamel\, Aix-Marsei
 lle Université\;\nAlejandro F. Ramírez\, Pontificia Universidad Católic
 a de Chile\;\nRémi Rhodes\, Aix-Marseille Université\;\nPierre Mathieu\,
  Aix-Marseille Université (directeur de thèse).\n\n\n\nEinstein and Nyqu
 ist relations for diffusions in a random environment perturbed by a time-p
 eriodic external force.\n We prove Einstein and Nyquist relations for dif
 fusions in a random environment perturbed by a time-periodic external forc
 e. Let us consider a reversible diffusion in a stationary\, uniformly elli
 ptic\, random environment. We call this process the unperturbed diffusion.
  It is well known that such a diffusion process satisfies an invariance pr
 inciple\, converging towards a Brownian motion with some constant covarian
 ce matrix. Then\, we perturb the diffusion process by adding a time-period
 ic external force\, and we study the response of the diffusion to the pert
 urbation.\nFirst\, we prove that the perturbed diffusion and its Fourier c
 oefficients satisfy an invariance principle on the Lebowitz and Rost scale
 . Namely\, we show that these processes converge towards a Brownian motion
  with constant covariance matrix and drift\, when space\, time and the int
 ensity of the force are appropriately scaled.\nThen\, we prove a law of la
 rge numbers for both the perturbed diffusion and its Fourier coefficients.
  We show that the asymptotic velocities are differentiable at 0 with respe
 ct to the intensity of the perturbation. Furthermore\, we compute those de
 rivatives at 0\, and we establish a link between the derivatives of the ve
 locities and the diffusion coefficient of the limiting Brownian motion for
  the unperturbed process (resp. for its Fourier coefficients). This prove
 s the Einstein and Nyquist relations.\n\n\nFinally\, we apply our results 
 to two concrete external forces.\n\n
CATEGORIES:Soutenance de thèse,ALEA,Probabilités
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