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 es-acoustiques-multistratifies-quelques-problemes-inverses-pour-lequation-
 de-la-chaleur-hdr-olivier-poisson/
SUMMARY:Olivier Poisson (I2M\, Aix-Marseille Université): Résonances pou
 r des Guides d’Ondes Acoustiques Multistratifiés. Quelques Problèmes
  Inverses pour l’équation de la chaleur
DESCRIPTION:Olivier Poisson: https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01255506\
 nCe mémoire présente la majeure partie de mes travaux de recherche de-
  puis mon arrivée à l’Université de Provence\, fin 1992. Ces trava
 ux\, détaillés ici\, se composent de deux parties indépendantes. La 
 partie II est divisée en trois chapitres qui peuvent être lus pratique
 ment indépendamment. La première partie porte sur l’étude de la pr
 opagation d’ondes acous- tiques dans une bande multistratifiée. C’es
 t un projet proposé par Y. Der- menjian quand je suis arrivé dans la "
 jeune équipe" à l’université de Pro- vence. A ce moment-là des t
 ravaux\, Y. Dermenjian et E. Croc avaient établi le principe d’absorpt
 ion limite pour l’opérateur d’ondes acoustiques dans une bande multi
 stratifiée constituée de trois régions homogènes. J’ai fourni al
 ors des représentations numériques de quelques ondes appelées "modes
  propres généralisés". Plus tard\, en collaboration avec Y. Dermenji
 an et Boris Vain- berg\, nous avons établi le prolongement méromorphe 
 de la résolvante de l’opérateur de diffusion des ondes\, avec ses co
 nséquences. Puis j’ai publié un résultat sur la distribution des v
 aleurs propres d’un tel opérateur. Les sections 1\, 2\, 3\, 4 se basen
 t sur l’article [8]. J’y ai corrigé quelques er- reurs sans conséq
 uences\, notamment la définition de D(A) (noté H dans [8\, (1.3)]). J
 ’y ai aussi ajouté un petit complément en précisant le fait qu’e
 n un seuil λ0\, les résidus R1(λ0 + i0) et R1(λ0 − i0) coincident\,
  au contraire de R2(λ0 +i0) et R2(λ0 −i0)\, sauf exception comme le ca
 s de la bande stratifiée non perturbée. J’ai repris les détails de
  certaines démonstrations de [8] qui me paraissent assez originales\, et
  laissé ceux d’autres preuves plus classiques. La section 5 se base su
 r le résultat de l’article [13] qui présente un résultat assez peu
  usuel\, ainsi qu’une partie de la démonstration\, qui ne me semble pa
 s très standard. La deuxième partie porte sur une inégalité de Car
 leman et des problèmes inverses\, pour la même équation parabolique.
  Elle est découpée en trois cha- pitres. L’arrivée dans notre éq
 uipe d’Assia Benabdallah et de Jérome Le Rousseau au début des anne
 ́es 2000 a permis une très bonne animation scien- tifique ainsi qu’un
 e fructueuse collaboration sur des sujets riches comme le contrôle des s
 olutions d’équations de type parabolique avec coefficient de conductiv
 ité discontinu\, ou des problèmes inverses associés à de telles e
 ́qua- tions\, incluant la technique des inégalités de Carleman pour l
 ’équation de la chaleur. J’ai publié en 2008 le résultat d’ine
 ́galité de Carleman multi- dimensionnel étendant les résultats du p
 apier originel Dubova-Osses-Puel en 2002. Le résultat a cependant éte
 ́ complètement dépassé par une nette amé- lioration de J. Le Rous
 seau et L. Robbiano l’année suivante\, basée sur une approche diffe
 ́rente. Toujours en 2008\, j’ai également publié le résultat de p
 roblème inverse basé sur la méthode inventée par Bukgheim et Kliba
 nov. Pour une raison chronologique\, la démonstration que j’y élabor
 e utilise pour l’inégalité de Carleman la version "Dubova-Osses-Puel
 " et non la mienne\, où les hypothèses\, quoique plus faibles\, sont p
 lus longues à décrire\, et où la démonstration est techniquement p
 lus sophistiquée. Il est clair que c’est maintenant la version "Le Rou
 sseau-Robbiano" qu’il faut considérer\, la seule VI à notre portée
  pour l’instant\, même si son emploi n’est pas direct. Plus récem-
  ment\, sous l’impulsion de Hiroshi Isozaki\, j’ai étudié le probl
 ème de Caldéron pour l’équation de la chaleur\, par des méthodes
  très différentes de celles pour les questions précédentes. C’es
 t pourquoi les trois chapitres de cette partie sont liés mais j’ai fai
 t en sorte qu’on puisse les lire indépendamment. Le chapitre 1 se base
  sur l’article [42]\, qui reprend les résultats de [28] en éten- dan
 t les hypothèses sur le coefficient de conductivité. Les fonctions poi
 ds de Carleman sont construites à partir de fonctions spatiales βi(x)\,
  comme dans le système de notations de [28] ou de [42]. La relation entr
 e les β (ou βi) et la fonction spatiale φ du système de notations de 
 [39] est explicitée. Le chapitre 2 se base sur l’article [43]. Pour l
 ’inégalité de Carleman utilisée\, c’est la fonction φ précé
 dente qui est employée. Le chapitre 3 porte sur le problème de Caldero
 ́n\, version équation de la chaleur. Il s’agit de donner une méthod
 e de reconstruction de l’interface où la conductivité est discontinu
 e\, connnaissant la conductivité de fond ("background"). Y sont présen
 tés deux résultats. Le premier concerne une conductivité indépenda
 nte du temps\, et la méthode consiste à revenir au cas elliptique avec
  un potentiel dépendant d’un grand paramètre. Le deuxième se place
  dans le cadre difficile où la conductivité dépend du temps\, la dim
 ension d’espace étant un. La preuve du résultat principal utilise un
 e méthode d’ansatz ainsi qu’une estimation d’énergie.\nMots-clé
 s : Equation aux dérivées partielles\, Théorie spectrale\, Inégalités
  de Carleman\n\nMembres du jury :\n- Assia Benabdallah (Université d’Ai
 x-Marseille)\n- Franck Boyer (Université d’Aix-Marseille)\n- Mourad Cho
 ulli (Université de Lorraine)\n- Mouez Dimassi (Université de Bordeaux 1
 )\n- David Dos Santos Ferreira (Université de Lorraine)\n- Hiroshi Isozak
 i (Université de Tsukuba\, Japon)\n- Gilles Lebeau (Université de Nice)\
 n- Jean-Pierre Puel (Université de Versailles)\n- Luc Robbiano (Universit
 é de Versailles)\n\nResonances for Multilayered Acoustic Waveguides. Some
  Inverse Problems for the Heat Equation.\nThis dissertation presents most 
 of my research work since my arrival at the University of Provence at the 
 end of 1992. This work\, detailed here\, consists of two independent parts
 . Part II is divided into three chapters which can be read almost independ
 ently. The first part deals with the study of the propagation of acoustic 
 waves in a multi-layered band. This is a project proposed by Y. Dermenjian
  when I joined the "young team" at the University of Provence. At that tim
 e\, Y. Dermenjian and E. Croc had established the principle of absorption 
 limit for the operator of acoustic waves in a multi-layered band made up o
 f three homogeneous regions. I then provided digital representations of so
 me waves called "generalized eigenmodes". Later\, in collaboration with Y.
  Dermenjian and Boris Vainberg\, we established the meromorphic extension 
 of the wave scattering operator resolvent\, with its consequences. Then I 
 published a result on the distribution of eigenvalues ​​of such an ope
 rator. Sections 1\, 2\, 3\, 4 are based on Article [8]. I corrected some e
 rrors without consequences\, notably the definition of D (A) (noted H in [
 8\, (1.3)]). I also added a small complement to it by specifying the fact 
 that at a threshold λ0\, the residues R1 (λ0 + i0) and R1 (λ0 - i0) coi
 ncide\, unlike R2 (λ0 + i0) and R2 (λ0 −i0)\, with some exceptions suc
 h as the undisturbed stratified band. I have taken the details of some dem
 onstrations of [8] which seem quite original to me\, and left those of oth
 er more classic proofs. Section 5 is based on the result of article [13] w
 hich presents a rather unusual result\, as well as part of the proof\, whi
 ch does not seem very standard to me. The second part deals with a Carlema
 n inequality and inverse problems\, for the same parabolic equation. It is
  divided into three chapters. The arrival in our team of Assia Benabdallah
  and Jérome Le Rousseau at the beginning of the 2000s allowed a very good
  scientific animation as well as a fruitful collaboration on rich subjects
  such as the control of solutions of parabolic-type equations. with discon
 tinuous coefficient of conductivity\, or inverse problems associated with 
 such equations\, including the Carleman inequality technique for the heat 
 equation. I published in 2008 the multidimensional Carleman inequality res
 ult extending the results of the original Dubova-Osses-Puel paper in 2002.
  The result was however completely exceeded by a clear improvement by J. L
 e Rousseau and L Robbiano the following year\, based on a different approa
 ch. Also in 2008\, I also published the inverse problem result based on th
 e method invented by Bukgheim and Klibanov. For a chronological reason\, t
 he proof that I elaborate there uses for Carleman's inequality the "Dubova
 -Osses-Puel" version and not mine\, where the hypotheses\, although weaker
 \, take longer to describe\, and where the demonstration is technically mo
 re sophisticated. It is clear that now is the "Le Rousseau-Robbiano" versi
 on that must be considered\, the only VI available to us for the moment\, 
 even if its use is not straightforward. More recently\, under the leadersh
 ip of Hiroshi Isozaki\, I studied Calderon's problem for the heat equation
 \, by methods very different from those for the previous questions. This i
 s why the three chapters in this part are linked but I have made it possib
 le to read them independently. Chapter 1 is based on article [42]\, which 
 takes the results of [28] by extending the assumptions on the conductivity
  coefficient. Carleman's weight functions are built from spatial functions
  βi (x)\, as in the notations system of [28] or [42]. The relation betwee
 n the β (or βi) and the spatial function φ of the notations system of [
 39] is explained. Chapter 2 is based on Article [43]. For the Carleman ine
 quality used\, the previous φ function is used. Chapter 3 deals with the 
 Calderón problem\, the heat equation version. This is to give a method of
  reconstruction of the interface where the conductivity is discontinuous\,
  knowing the background conductivity. Two results are presented. The first
  concerns a conductivity independent of time\, and the method consists in 
 returning to the elliptical case with a potential dependent on a large par
 ameter. The second is placed in the difficult context where conductivity d
 epends on time\, the dimension of space being one. The proof of the main r
 esult uses an ansatz method as well as an energy estimate.
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CATEGORIES:Soutenance d'HdR,Analyse Appliquée
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