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 -gradient-dans-lespace-de-wasserstein-pour-lechantillonnage-theorie-et-alg
 orithmes/
SUMMARY:Chiheb Daaloul (I2M\, Aix-Marseille Université): Descente de gradi
 ent dans l'espace de Wasserstein pour l'échantillonnage : théorie et alg
 orithmes
DESCRIPTION:Chiheb Daaloul: Jury :\n\n 	M. Thibaut LE GOUIC          
 Centrale Méditerranée (Directeur de thèse)\n 	Mme Magali TOURNUS    
    Centrale Méditerranée (Co-encadrante de thèse)\n 	M. Adil AHIDAR-CO
 UTRIX    École Centrale Casablanca (Co-directeur de thèse)\n 	M. Pier
 re PUDLO                 Aix-Marseille Université (Président
 )\n 	M. Nicolas COURTY             Université Bretagne Sud (Rapp
 orteur)\n 	M. Alain DURMUS CMAP\,     École polytechnique (Rapporteur)
 \n 	M. Arnaud GUILLIN             Université Clermont-Auvergne (
 Examinateur)\n 	M. Romain HUG                  Aix-Marseille 
 Université (Examinateur)\n\nRésumé (français) :\nL’échantillonnage 
 est un outil très utilisé en statistiques (méthodes bayésiennes\,\napp
 rentissage statistique) qui permet de représenter faiblement une mesure d
 e probabilité\nvia une intégration contre une classe de fonctions régul
 ières.L’algorithme de Langevin est une méthode populaire qui fournit u
 n échantillon\napproximativement distribué selon une mesure de probabili
 té définie sur R^d . Dans\nla première partie de cette thèse\, nous ob
 tenons des résultats concernant la convergence\nd’une généralisation 
 de l’algorithme de Langevin aux mesures définies sur un\nsous-ensemble 
 convexe possiblement borné de R^d \, et dans le cas où la mesure n’est
 \npas nécessairement (relativement) log-concave. Nous justifions rigoureu
 sement la\nconvergence de cet algorithme sous des hypothèses raisonnables
 . L’analyse présentée\ndans cette partie s’inscrit dans l’interpr
 étation de l’échantillonnage comme un\nproblème d’optimisation dans
  l’espace de Wasserstein.Calculer une moyenne est une opération éléme
 ntaire permettant de réduire un en-\nsemble complexe de données à un é
 lément représentatif interprétable. Dans l’espace\nde Wasserstein\, M
 . Agueh et G. Carlier ont défini le barycentre comme la moyenne de\nFréc
 het\, qui a reçu une attention grandissante de la part de communautés au
  sein et\nen-dehors des mathématiques. Ceci tient en partie à ce que le 
 barycentre de Wasserstein\nfournit un représentant plus interprétable qu
 e d’autres notions de moyennes\ndans certaines situation (par exemple\, 
 en traitement d’images).Dans la deuxième partie de cette thèse\, nous 
 proposons une méthode basée sur une\ndescente de gradient dans l’espac
 e des couplages de Wasserstein pour échantillonner le\nbarycentre de mesu
 res à densité définies sur R^d . Notre méthode consiste en\nune relaxa
 tion de la formulation multimarginale du barycentre\, où la contrainte de
 \ncouplage est remplacée par une pénalité.\n\nAbstract (English) :\n\nS
 ampling is a widely used tool in statistics (Bayesian methods\, statistica
 l learning)\nthat allows for a weak representation of a probability measur
 e through integration\nagainst a class of regular functions.\n\nThe Langev
 in algorithm is a popular method that provides a sample approximately\ndis
 tributed according to a probability measure defined on R^d . In the first 
 part of\nthis thesis\, we obtain results regarding the convergence of a ge
 neralization of the\nLangevin algorithm to measures defined on a possibly 
 bounded convex subset of R^d \,\nwhere the measure is not necessarily (rel
 atively) log-concave. We rigorously justify the\nconvergence of this algor
 ithm under reasonable assumptions. The analysis presented\nin this section
  is framed within the interpretation of sampling as an optimization\nprobl
 em in the Wasserstein space.\n\nCalculating an average is a basic operatio
 n that reduces a complex dataset to an\ninterpretable representative eleme
 nt. In the Wasserstein space\, M. Agueh and G. Carlier\ndefined the baryce
 nter as the Fréchet mean\, which has received growing attention\nfrom com
 munities both within and outside mathematics. This is partly due to the\nf
 act that the Wasserstein barycenter provides a more interpretable represen
 tative than\nother notions of averages in certain situations (e.g.\, in im
 age processing).\n\nIn the second part of this thesis\, we propose a gradi
 ent descent-based method in the\nspace of Wasserstein couplings to sample 
 the barycenter of density measures defined\non R^d . Our method consists o
 f a relaxation of the multimarginal formulation of the\nbarycenter\, where
  the coupling constraint is replaced by a penalty.
CATEGORIES:Soutenance de thèse,ALEA,Statistique
LOCATION:I2M Saint-Charles - Salle de séminaire\, Université Aix-Marseill
 e\, Campus Saint-Charles\, 3 Place Victor Hugo\, Marseille\, 13003\, Franc
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