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 t-integrables-dans-les-surfaces-a-courbure-constante-alexey-glutsyuk/
SUMMARY:Alexey Glutsyuk (UMPA\, ENS de Lyon): Sur les billards polynomialem
 ent intégrables dans les surfaces à courbure constante
DESCRIPTION:Alexey Glutsyuk: La célèbre Conjecture de Birkhoff concerne u
 n billard convexe planaire à frontière lisse. Rappelons\, qu'une caustiq
 ue d'un billard est une courbe C dont toute droite tangente se reflète de
  la frontière du billard en une droite aussi tangente à C. Un billard s'
 appelle intégrable au sens de Birkhoff\, si un voisinage intérieur de sa
  frontière est feuilleté par des caustiques fermées. La Conjecture de B
 irkhoff affirme\, que tout billard planaire intégrable au sens de Birkhof
 f est une ellipse. Récemment Vadim Kaloshin et Alfonso Sorrentino en ont 
 démontré la version locale: toute déformation intégrable d'une ellipse
  est une ellipse. L'intégrabilité d'un billard au sens de Birkhoff est 
 équivalente à l'intégrabilité au sens de Liouville du flot de billard:
  l'existence d'une intégrale première indépendante avec l'intégrale tr
 iviale\, le module de la vitesse (au voisinage du fibré tangent unitaire 
 de la frontière). La version algébrique de la Conjecture de Birkhoff\, q
 ui a été d'abord étudiée par Sergei Bolotin\, concerne les billards po
 lynomialement intégrables\, dont le flot admet une intégrale première p
 olynomiale en la vitesse qui est non constante le long de l'hypersurface d
 e niveau unitaire du module de la vitesse.\n-\nDans cet exposé\, nous pr
 ésenterons un survol court de la Conjecture de Birkhoff et la solution co
 mplète de sa version algébrique. Nous démontrons\, que tout billard pla
 naire polynomialement intégrable à frontière C2 lisse connexe non liné
 aire est une ellipse. Nous classifions les billards polynomialement intég
 rables à frontière lisse par morceaux sur toute surface à courbure cons
 tante: plan\, sphère\, le plan hyperbolique.\nCe sont des résultats en c
 ommun avec Misha Bialy et Andrey Mironov.\nOn polynomially integrable bill
 iards in surfaces with constant curvature.\nThe famous Birkhoff Conjecture
  concerns a planar convex billiard table with a smooth border. Let us reca
 ll that a caustic of a billiard table is a curve C of which any tangent li
 ne is reflected from the border of the billiard table into a line also tan
 gent to C. A billiard table is called integrable in the sense of Birkhoff\
 , if a neighborhood inside its border is laminated by closed caustics. Bir
 khoff's Conjecture affirms that any integrable planar billiard table in Bi
 rkhoff's sense is an ellipse. Recently Vadim Kaloshin and Alfonso Sorrenti
 no demonstrated the local version: any integrable deformation of an ellips
 e is an ellipse. The integrability of a billiard in the sense of Birkhoff 
 is equivalent to the integrability in the sense of Liouville of the billia
 rd flow: the existence of an independent first integral with the trivial i
 ntegral\, the modulus of the speed (in the vicinity of the unit tangent bu
 ndle of the border). The algebraic version of Birkhoff's Conjecture\, whic
 h was first studied by Sergei Bolotin\, concerns polynomially integrable b
 illiards\, whose flow admits a first polynomial integral in the speed whic
 h is non-constant along the hypersurface of unit level of the speed modulu
 s.\n\nIn this talk\, we will present a short overview of the Birkhoff Conj
 ecture and the complete solution of its algebraic version. We prove that a
 ny polynomially integrable planar billiard table with a connected nonlinea
 r smooth C2 boundary is an ellipse. We classify polynomially integrable bi
 lliards with smooth border pieces on any surface with constant curvature: 
 plane\, sphere\, the hyperbolic plane. These are joint results with Misha 
 Bialy and Andrey Mironov. https://hal.archives-ouvertes.fr/ensl-01664204v1
 \n\n
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