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SUMMARY: (...): Théorèmes de types Liouville et estimations universelles 
 pour les problèmes elliptiques et paraboliques non linéaires
DESCRIPTION:: Le théorème de Cauchy-Liouville établit qu’une fonction 
 entière bornée d’une variable complexe est\nnécessairement constante.
  Une propriété liée et également très classique est que ceci reste vr
 ai pour toute\nfonction harmonique bornée sur l’espace euclidien\, en t
 oute dimension. Dans le contexte des EDP\, on entend\npar théorème de ty
 pe Liouville un résultat affirmant la nonexistence de solutions dans l’
 espace entier (ou\nun domaine non borné approprié)\, les solutions étan
 t parfois sujettes à certaines restrictions (e.g.\, non\nconstante\, ou a
 vec conditions de signe ou de croissance). De nombreux résultats de ce ty
 pe\, avec des\napplications importantes\, sont apparus au cours des année
 s\, conférant aux théorèmes de type Liouville un\nrôle notable dans la
  théorie des EDP et mettant en évidence des connections fortes avec d’
 autres domaines\nmathématiques (calcul des variations\, géometrie\, dyna
 mique des fluides\, contrôle optimal stochastique).\nAprès un bref déto
 ur historique (surfaces minimales – Lagrange\, Bernstein\, de Giorgi\, B
 ombieri\, ...\,\nthéorie de la régularité pour les systèmes elliptique
 s linéaires – Giaquinta\, Necas\, ...)\, nous rappellerons les\ndévelo
 ppements des années 1980-2000 sur les problèmes elliptiques non linéair
 es\, conduisant à des outils\nrobustes pour l’existence et les estimati
 ons a priori pour les problèmes de type Dirichlet (Gidas\, Spruck\,\nCaff
 arelli\, ...)\, basés sur la combinaison de théorèmes de type Liouville
  et de techniques de renormalisation.\nDans une période plus récente\, c
 ette direction de recherche a conduit à des progrès dans l’étude des\
 nsingularités des solutions\, tant pour les équations elliptiques que pa
 raboliques. En particulier\, dans le\ncas des non-linéarités puissances\
 , nous rappellerons l’équivalence entre théorèmes de Liouville et est
 imations\nuniverselles\, établie par une méthode de renormalisation-doub
 lement (travail en collaboration avec P. Polacik\net P. Quittner\, 2007).\
 nPuis nous présenterons des développements récents qui montrent que\, p
 ar des modifications appropriées\,\nces méthodes de renormalisation peuv
 ent être appliquées à des non-linearités sans invariance d’échelle\
 , même\nasymptotique\, et dont le comportement est très éloigné de cel
 ui d’une puissance. Dans ce cadre\, nous\nmontrons notamment que l’éq
 uivalence ci-dessus entre théorèmes de Liouville et estimations universe
 lles reste\nvalide. Ceci conduit à des résultats nouveaux pour les probl
 èmes elliptiques et paraboliques sans invariance\nd’échelle\, concerna
 nt les estimations des singularités en temps-espace\, les vitesses d’ex
 plosion initiales et\nfinales\, et les vitesses de décroissance en temps 
 et/ou espace. Nous illustrerons enfin cette approche par des\nexemples qui
  montrent l’optimalité des estimations et des hypothèses.
CATEGORIES:Séminaire,Analyse Appliquée
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