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 -groupes-et-representations-unitaires/
SUMMARY:Antoine Pinochet-Lobos (I2M\, Aix-Marseille Université): Théorèm
 es ergodiques\, actions de groupes et représentations unitaires
DESCRIPTION:Antoine Pinochet-Lobos: Dans cette thèse\, nous étudions diff
 érents problèmes de la théorie ergodique des actions de groupes. Le pre
 mier problème\, étudié en collaboration avec Ch. Pittet\, est celui de 
 l’estimation de la discrépance\, qui est un nombre qui quantifie la vit
 esse de mélange pour une action préservant la mesure d’un groupe sur u
 n espace de probabilité. Nous étudions cette discrépance dans le cas o
 ù le groupe agissant est discret\, puis\, de manière plus générale\, q
 uand il est localement compact. Nous démontrons une minoration générale
  de cette discrépance par la norme de la représentation régulière. Nou
 s nous intéressons ensuite à la propriété de Howe-Moore. Bien connue d
 ans le cas des groupes de Lie simples non compacts\, elle affirme que tout
 e action de ces groupes qui est ergodique est automatiquement mélangeante
 . Nous généralisons l’approche axiomatique de Ciobotaru pour considér
 er le cas des produits (qui n’ont pas Howe-Moore)\, et démontrer que de
  nombreux produits finis de groupes ayant la propriété de Howe-Moore vé
 rifient une propriété un peu plus faible mais qui implique encore le mé
 lange. Ensuite\, en collaboration avec A. Boyer\, nous étudions l’actio
 n d’un groupe libre de type fini sur son bord\, où la mesure naturelle 
 n’est que quasi-invariante. Nous démontrons un théorème ergodique à 
 la Bader-Muchnik pour cette action\, c’est-à-dire une convergence (pour
  la topologie faible des opérateurs) de moyennes d’opérateurs de Koopm
 an convenablement pondérées (par la fonction de Harish-Chandra) vers le 
 projecteur orthogonal sur les fonctions constantes sur le bord. Enfin\, da
 ns un travail en collaboration avec A. Boyer et Ch. Pittet\, nous nous int
 éressons à la propriété de décroissance rapide radiale (RRD). Cette p
 ropriété est un affaiblissement de la propriété de décroissance rapid
 e (RD)\, qui joue un rôle important dans le travail de Lafforgue sur la c
 onjecture de Baum-Connes. Nous fournissons un exemple d’un groupe possé
 dant la propriété RRD\, mais pas la propriété RD\, répondant ainsi à
  une question de I. Chatterji. Nous prouvons\, sous des hypothèses raison
 nables de croissance sur la fonction de longueur\, que les réseaux (cocom
 pacts ou non) des groupes localement compacts héritent de la propriété 
 RRD.\n\nErgodic theorems\, group actions and unitary representations\nIn t
 his thesis\, we first study the notion of discrepance\, which measures the
  rate of convergence of ergodic means. We prove estimations for the discre
 pancy of actions on the sphere\, the torus and the Bernoulli shift\, as we
 ll as for actions of locally compact groups. Moreover\, we prove an inequa
 lity that allows us to locate these discrepancies in the larger framework 
 of the Monte-Carlo method. We consider the action of the free group on the
  boundary of its Cayley tree. We prove a convergence theorem of some means
  associated with this action\, that only preserves the class of the natura
 l measures on this boundary. We recover the previously known result that t
 he unitary representation associated to it is irreducible. We then investi
 gate the Howe-Moore property. Groups that satisfy it have the property tha
 t whenever they act ergodically on some probability space\, then the actio
 n is mixing \; unfortunately\, this property is not stable by direct produ
 cts. We formulate a generalization of the Howe-Moore property\, relying on
  an axiomatization of the Mautner phenomenon\, that allows us to treat the
  case of products. Finally\, we prove that every lattice inherits the radi
 al rapid decay property\, and give an explicit example of a discrete group
 \, endowed with a natural length function which is quasi-isometric to a wo
 rd-length\, that has RRD but doesn't have RD\n\n*Membres du jury :\n- Pier
 re-Emmanuel Caprace\,\n- Indira Chatterji\,\n- Pierre Mathieu\,\n- Christo
 phe Pittet\, directeur de thèse\n- Jean-François Quint.\n\nLiens :\n- th
 eses.fr\n- Fiche de l'ED184
CATEGORIES:Soutenance de thèse,AGT
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