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 8%9e-categories-strictes-hdr-dimitri-ara/
SUMMARY:Dimitri Ara (I2M\, AGLR-LDP\, Aix-Marseille Université): Théorie 
 de l'homotopie des ∞-catégories strictes
DESCRIPTION:Dimitri Ara: Composition du jury\n- Denis-Charles Cisinski\, Un
 iversität Regensburg- André Joyal\, Université du Québec à Montréal-
  Yves Lafont\, Université d’Aix-Marseille- Georges Maltsiniotis\, Unive
 rsité Paris Cité- Ieke Moerdijk\, Universiteit Utrecht- Carlos Simpson\,
  Université Côte d’Azur- Christine Vespa\, Université d’Aix-Marseil
 leaprès avis des rapporteurs :- Michael Batanin\, Akademie věd České r
 epubliky- André Joyal\, Université du Québec à Montréal- Carlos Simps
 on\, Université Côte d’Azur\nRésumé\nCe mémoire est une synthèse d
 ’une série de travaux\, pour la plupart réalisés en collaboration ave
 c Georges Maltsiniotis\, sur une généralisation ∞-catégorique de la t
 héorie de l’homotopie des petites catégories\, telle que développée 
 par Quillen\, Thomason et Grothendieck.Plus précisément\, nous développ
 ons une théorie de l’homotopie des ∞-catégories strictes vues à tra
 vers leur type d’homotopie classifiant. Pour définir ce type d’homoto
 pie\, on a besoin de réaliser\, par exemple simplicialement\, une ∞-cat
 égorie stricte. Nous démontrons que les différentes réalisations usuel
 les sont équivalentes. On en déduit une notion d’équivalence de Thoma
 son pour les ∞-catégories strictes.\nDans le but de généraliser les c
 élèbres théorèmes A et B de Quillen\, nous développons une théorie d
 es tranches ∞-catégoriques. Nous définissons ces tranches par adjoncti
 on à partir d’une construction joint pour les ∞-catégories strictes 
 que nous introduisons. Nous étudions les fonctorialités de cette constru
 ction et proposons de très générales conjectures de fonctorialité en t
 ermes de ∞-foncteurs dit de Gray.Nous démontrons l’analogue ∞-caté
 gorique du théorème A de Quillen\, à savoir qu’un ∞-foncteur qui es
 t localement une équivalence de Thomason est une équivalence de Thomason
 . Nous étendons ce théorème A au cas des triangles commutant uniquement
  à une transformation lax près. La preuve de ce résultat est basée sur
  une théorie des ∞-catégories comma que nous développons.Nous démont
 rons un théorème B ∞-catégorique\, affirmant que\, sous des hypothès
 es adéquates\, les ∞-catégories comma que nous avons définies sont de
 s produits fibrés homotopiques. En particulier\, sous ces hypothèses\, l
 es tranches sont des fibres homotopiques. Nous donnons quelques applicatio
 ns de ce résultat\, notamment au calcul de modèles ∞-catégoriques pou
 r les espaces de lacets et les espaces d’Eilenberg-Mac Lane.Nous associo
 ns à tout complexe simplicial une ∞-catégorie stricte de nature géom
 étrique dont nous conjecturons qu’elle modélise son type d’homotopie
 . Nous prouvons cette conjecture lorsque le complexe simplicial est subdiv
 isé. En particulier\, on obtient un modèle ∞-catégorique pour les CW-
 complexes réguliers.Enfin\, nous discutons l’existence d’une structur
 e de catégorie de modèles « à la Thomason » sur la catégorie des ∞
 -catégories strictes munie des équivalences de Thomason. Nous réduisons
  cette question à une conjecture sur le comportement homotopique de certa
 ines sommes amalgamées. Nous démontrons cette conjecture en dimension 2\
 , obtenant ainsi une structure de catégorie de modèles pour les 2-catég
 ories.\n\n\n\n\nHomotopy theory of strict ∞-categories\nAbstract: This d
 issertation is a synthesis of a series of works\, mostly done in collabora
 tion with Georges Maltsiniotis\, on a ∞-categorical generalization of th
 e homotopy theory of small categories\, as developed by Quillen\, Thomason
  and Grothendieck.\nMore precisely\, we develop a homotopy theory of stric
 t ∞-categories seen through their classifying homotopy type. In order to
  define this type of homotopy\, we need to realize\, for example simplicit
 er\, a strict ∞-category. We show that the various usual realizations ar
 e equivalent. We derive a notion of Thomason equivalence for strict ∞-ca
 tegories.\nIn order to generalize Quillen's famous A and B theorems\, we d
 evelop a theory of ∞-categorical slices. We define these slices by adjun
 ction from a joint construction for strict ∞-categories that we introduc
 e. We study the functorialities of this construction and propose very gene
 ral functoriality conjectures in terms of so-called Gray ∞-functors.\nWe
  prove the ∞-categorical analogue of Quillen's A-theorem\, namely that a
 n ∞-functor which is locally a Thomason equivalence is a Thomason equiva
 lence. We extend this A-theorem to the case of triangles commuting only to
  a lax transformation. The proof of this result is based on a theory of 
 ∞-categories comma that we develop.\nWe prove an ∞-categorical theorem
  B\, stating that\, under suitable assumptions\, the ∞-comma categories 
 we have defined are homotopic fibered products. In particular\, under thes
 e assumptions\, slices are homotopic fibers. We give some applications of 
 this result\, in particular to the computation of ∞-categorical models f
 or yaw spaces and Eilenberg-Mac Lane spaces.\nWe associate to any simplici
 al complex a strict ∞-category of geometric nature which we conjecture m
 odels its homotopy type. We prove this conjecture when the simplicial comp
 lex is subdivided. In particular\, we obtain an ∞-categorical model for 
 regular CW-complexes.\nFinally\, we discuss the existence of a category st
 ructure of "Thomason-like" models on the category of strict ∞-categories
  equipped with Thomason equivalences. We reduce this question to a conject
 ure about the homotopic behaviour of certain amalgamated sums. We prove th
 is conjecture in dimension 2\, thus obtaining a category structure of mode
 ls for 2-categories.
CATEGORIES:Soutenance d'HdR,AGLR,Logique et Interactions
LOCATION:Luminy - Amphi 12\, Campus de Luminy\, Marseille\, France
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