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 n-infinie-et-dynamique-transcendante-avec-orbites-singulieres-qui-sechappe
 nt-konstantin-bogdanov/
SUMMARY:Konstantin Bogdanov (I2M\, Aix-Marseille Université): Théorie de 
 Thurston de dimension infinie et dynamique transcendante avec orbites sing
 ulières qui s'échappent
DESCRIPTION:Konstantin Bogdanov: Titre: Théorie de Thurston de dimension 
 infinie et dynamique transcendante avec orbites singulières qui s'écha
 ppent.\nDirecteur de thèse: Dierk Schleicher\nRésumé:\n\nLe sujet de ce
 tte thèse est de distinguer et classifier une famille de fonctions entiè
 res transcendantes par la dynamique de leurs singularités. Cette classifi
 cation suit la direction donnée par le célèbre théorème de Thurston d
 e caractérisation des fonctions rationnelles\, mais dans le cadre des fon
 ctions transcendantes\, ce qui nécessite de travailler avec la théorie d
 e Teichmüller de dimension infinie plutôt que finie comme dans le théor
 ème de Thurston.\n\nLes familles de fonctions que nous étudions sont des
  compositions de fonctions exponentielles et de polynômes\, et nous metto
 ns l'accent sur le cas où toutes les singularités s'échappent (vite) à
  l'infini. C'est en analogie avec la famille des polynômes quadratiques o
 ù l'ensemble de polynômes dont les singularités tendent vers l'infini f
 orme le complémen-taire du célèbre ensemble de Mandelbrot. Même pour l
 es polynômes\, la situation devient beaucoup plus difficile lorsque il y 
 a plus d'une singularité\, car chacune d'elles introduit un degré de lib
 erté supplémentaire. Dans le cas des fonctions transcendantes\, la descr
 iption des singularités individuelles qui s'échappent (en termes de la v
 itesse d'évasion et de la combinatoire) introduit des défis supplémenta
 ires qui ont été seulement récemment compris\, et la classification de 
 ces fonctions n'est seulement connu que pour la famille exponentielle.\n\n
 La construction d'une fonction entière avec la vitesse d'évasion et la c
 ombinatoire des singularités prescrites se ramène à l'étude des itér
 ées d'une fonction (analogue à l'application de tirée en arrière de Th
 urston) qui opère sur un espace de Teichmüller de dimension infinie (plu
 s précisément\, l'espace de Teichmüller du complémentaire des orbites 
 singulières). Un point fixe de cette fonction correspond à la fonction e
 ntière avec la dynamique recherchée. La principale différence avec la p
 reuve du théorème classique de Thurston de caractérisation de fonctions
  rationnelles provient de la dimension infinie de l'espace de Teichmülle
 r sous-jacent (en plus du fait que les fonctions sont transcendantes). En 
 effet\, la composante essentielle dans la preuve du théorème classique e
 st que l'application de tirée en arrière de Thurston est strictement con
 tractante sur l'espace de Teichmüller\, propriété qui découle d'un th
 éorème standard de la théorie de Teichmüller. Cependant\, dans notre s
 ituation\, ce n'est pas un résultat que nous pouvons tenir pour acquis\, 
 et cela est même  faux en général. Une autre difficulté importante vi
 ent du fait que l'information homotopique d'un point de l'espace de Teichm
 üller est évaluée relativement à une infinité de points (orbites sing
 ulières)\, et on veut en obtenir une description algébrique manipulable.
  Ces problèmes  et d'autres nécessitent des techniques tout à fait dif
 férentes du théorème de Thurston.\nTitle: Infinite-dimensional Thursto
 n theory and transcendental dynamics with escaping singular orbits.\nPhD 
 adviser: Dierk Schleicher\nAbstract:\nThe topic of this thesis is to disti
 nguish and classify a family of transcendental entire functions in terms o
 f the dynamics of their singular values. This classification follows the l
 ead of Thurston’s famous characterization theorem of rational maps\, but
  in the context of transcendental mappings\, and works with infinite rathe
 r than finite dimensional Teichmüller theory.\nThe families of maps that 
 we investigate are compositions of exponential and polynomial functions\, 
 and we focus on the case where all singular values converge (fast) to infi
 nity: this is in analogy to quadratic polynomials where the set of functio
 ns with singular values converging to infinity forms the complement of the
  celebrated Mandelbrot set. Even for polynomials\, the situation becomes f
 ar more challenging when there is more than one singular value\, as each s
 ingular value introduces another degree of freedom. In the transcendental 
 case\, the description of individual escaping singular values (in terms of
  speed of escape and combinatorics) introduces additional challenges that 
 have been understood only recently\, and a classification of such maps is 
 known so far only for the family of exponential maps.\nThe construction of
  an entire transcendental function with prescribed speed of escape and com
 binatorics of singular values involves consideration of iterates of a map 
 (in analogy to Thurston’s sigma-mapping) that acts on an infinite-dimens
 ional Teichmüller space (more precisely\, Teichmüller space modeled on t
 he complement of singular orbits). A fixed point of this map corresponds t
 o an entire function with the required dynamics. The key difference of thi
 s setting from the  one in the proof of Thurston's classical characteriza
 tion of rational maps is the infinite-dimensionality of the underlying Tei
 chmüller space (in addition to the fact that our maps are transcendental)
 . For instance\, an essential ingredient in the proof of the classical the
 orem is that the sigma-mapping acting on Teichmüller space is strictly co
 ntracting\, and it follows from a standard theorem of Teichmüller theory.
  However\, in our setting it is not a result that can be taken for granted
 \, and possibly not true in general. Another key difficulty is that the ho
 motopy information of a point in the Teichmüller space is measured relati
 ve to infinitely many points (singular orbits)\, and one needs to obtain a
  tame algebraic description of it. These and further issues require quite 
 different techniques than in the theorem by Thurston.[su_spacer size="10"]
CATEGORIES:Soutenance de thèse,GDAC
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