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URL:https://www.i2m.univ-amu.fr/evenements/tours-ordinaires-de-corps-de-fo
 nctions-et-rang-de-tenseur-de-la-multiplication-dans-les-extensions-de-f-2
 -et-f-3/
SUMMARY:Julia Pieltant (...): Tours ordinaires de corps de fonctions et ran
 g de tenseur de la multiplication dans les extensions de F_2 et F_3
DESCRIPTION:Julia Pieltant: On s'intéressera dans cet exposé au rang de t
 enseur de la multiplication dans les extensions finies de F_q\, qui corres
 pond à la complexité bilinéaire sur F_q de la multiplication dans F_{q^
 n}.\n\nDans cette optique\, on présentera l'algorithme introduit en 1987 
 par D.V. et G.V. Chudnovsky qui a permis d'établir la linéarité du rang
  de tenseur en le degré n de l'extension considérée\, et en fournit dé
 sormais les meilleures bornes connues dans le cas d'extensions de degré g
 rand relativement au cardinal du corps de base. Cet algorithme repose sur 
 un principe d'évaluation-interpolation "à la Karatsuba"\, où les évalu
 ations sont faites en des places d'un corps de fonctions algébriques bien
  choisi. Ainsi\, on est amené à étudier des corps de fonctions algébri
 ques ayant un grand nombre de places de petit degré relativement à leur 
 genre\, et à établir des conditions suffisantes permettant d'appliquer l
 'algorithme de type Chudnovsky-Chudnovsky sur un corps de fonctions donné
 . En particulier\, on montrera que l'existence d'un diviseur non-spécial 
 de degré g-1\, où g est le genre du corps de fonctions considéré\, est
  crucial pour obtenir un algorithme de faible complexité. Lorsque le corp
 s de base a au moins 4 éléments\, un tel diviseur existe toujours \; cep
 endant le problème persiste dans les cas de F_2 et F_3.\n\nÀ partir de d
 eux tours de corps de fonctions algébriques définies respectivement sur 
 F_p\, pour p= 2 ou 3\, qui sont ordinaires\, c'est-à-dire dont chacun des
  étages est de p-rang maximal\, on améliore les bornes de complexité bi
 linéaire connues pour la multiplication dans les extensions de F_2 et F_3
 . De plus\, ce résultat met en évidence que dans le cas particulier de F
 _2\, l'existence de points de 2-torsion dans le groupe de classes de divis
 eurs de dimension nulle ne constitue pas nécessairement un obstacle à l'
 amélioration des bornes comme cela était admis jusqu'à présent.\n\nTra
 vail en commun avec Stéphane Ballet.\n\nJulia Pieltant\, I2M\, Aix-Marsei
 lle Université\n\n
CATEGORIES:Séminaire,Arithmétique et Théorie de l’Information
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