BEGIN:VCALENDAR VERSION:2.0 PRODID:-//wp-events-plugin.com//7.2.3.1//EN TZID:Europe/Paris X-WR-TIMEZONE:Europe/Paris BEGIN:VEVENT UID:8903@i2m.univ-amu.fr DTSTART;TZID=Europe/Paris:20251119T140000 DTEND;TZID=Europe/Paris:20251119T180000 DTSTAMP:20251109T215502Z URL:https://www.i2m.univ-amu.fr/evenements/transformees-temps-frequence-no n-lineaires-a-fenetres-adaptatives/ SUMMARY:Pierre Warrion (I2M): Transformées temps-fréquence non linéaires à fenêtres adaptatives DESCRIPTION:Pierre Warrion: Le jury sera composé de :\n\n Peter Balazs - Chercheur\, Austrian Academy of sciences - rapporteur\n Philippe Jaming - Professeur\, Université de Bordeaux - rapporteur\n Valérie Perrier - P rofesseure\, Université Grenoble Alpes\, Présidente du Jury\n Clothilde Melot - Maîtresse de conférence\, Aix-Marseille Université - Examinatr ice\n Rémi Gribonval - Directeur de Recherche\, ENS de Lyon - Examinateu r\n Bruno Torrésani - Professeur\, Aix-Marseille Université - Directeur de thèse\n\nRésumé :\n\nLes transformations temps-fréquences sont ext rêmement pratiques et fortement utilisées dans le domaine du traitement du signal. A l'inverse de transformées dites "globales" comme la transfor mée de Fourier\, elles permettent une analyse de Fourier locale\, dans le s limites des principes d'incertitude. Ces dernières expriment le fait qu e la précision dans le domaine fréquentiel se fait au détriment de la l ocalisation temporelle\, et vice versa.\n\nCes transformations sont géné ralement construites à partir de règles générales simples\, qui impact ent leurs propriétés de localisation  conjointe temps-fréquence. Par e xemple la STFT (short time Fourier transform\, transformée de Fourier à fenêtre glissante en français)\, la précision temporelle est la même à chaque instant et chaque fréquence: on parle de résolution temps-fré quence constante.  La transformée en ondelettes\, qui permet de caracté riser des changements d'échelles dans la fonction (le signal) analysée\, a une résolution fréquentielle proportionnelle à la fréquence analys ée: on parle de résolution fréquentielle relative constante. Il existe de nombreuses variantes caractérisées par d'autres règles liant fréque nce (ou temps) et résolution fréquentielle. Ceci étant\, elles sont rar ement adaptatives (au sens où la résolution temps-fréquence n'est pas d irectement adaptée à partir de caractéristiques du signal analyse). Et lorsqu'elles le sont\, les implications mathématiques de cette adaptation n'ont\, à notre connaissance\, jamais été analysées finement.\n\nCett e thèse est précisément consacrée à la construction et l'analyse de t elles transformations adaptatives. Dans notre construction\, la résolutio n autour d'un instant $t$ ou d'une fréquence $omega$ peut devenir plus ou moins fine selon certains critères définis en amont. Ce changement de r ésolution se fait via l'introduction d'une fonction $sigma_f$ appelé fon ctions de focus dépendante de la fonction $f$ analysée\, qui définit l' échelle locale (dans le domaine temporel ou fréquentiel) de la fenêtre d'analyse\, ou l'ondelette d'analyse selon le contexte. Un tel changement dans la définition des transformées adaptatives brise ainsi les structur es de groupe sous-jacentes et la linéarité des transformées sur lesquel les elles sont basées.\n\nNous avons ainsi proposé deux transformées di stinctes. La première\, notée  $M^tau$ et dite à focus temporel\, est basée sur la STFT. La seconde\, notée $M^nu$ et dite à focus fréquenti el\, est basée sur la transformée en ondelettes. Dans les deux cas\, nos premiers résultats concernent les propriétés de bases telles que la bo nne définition en tant qu'application (non linéaire) de $L^2(R)$ dans $L ^2(R^2)$ pour la première et de $H^2(R)$ dans $L^2(R^2\,dmu)$\, $H^2$ ét ant l'espace de Hardy réel et $dmu$ une certaine mesure propre à notre c onstruction. Nous avons aussi montré des encadrements de normes dans des espaces correspondants. Nous avons ensuite montré des résultats liés à la linéarisation des transformées tels que des contrôles de normes mix tes et des estimés de stabilité.\n\nUn aspect important est le choix des fonctions de focus $sigma$ utilisées pour l'adaptation de la transformé e. Nous avons introduit des fonctions de focus basées sur des mesures d'e ntropie de Rényi locales (en temps ou en fréquence) calculées à partir d'une STFT (ou transformée en ondelettes) de référence. Les résultats de stabilité mentionnés plus haut jouent un rôle central dans la compr éhension de ces fonctions de focus.\n\nEnfin\, nous avons jeté les bases pour l'étude de l'inversion des transformées adaptatives basées sur de s entropies de Rényi. Sans conduire encore à des schémas d'inversion bi en définis\, ces premiers résultats laissent penser que de tels schémas seront accessibles.\n\nLes résultats décrits dans cette thèse sont pri ncipalement théoriques\, mais ils sont néanmoins illustrés pas quelques simulations numériques\, qui prouvent que les transformées adaptatives que nous avons introduites font sens et on un réel potentiel applicatif.\ n\nMots clés : Analyse\, temps-fréquence\, Fourier\, ondelettes\, non l inéaire\, harmonique\, adaptatif.\n\nAbstract :\n\nTime-frequency transfo rms are extremely practical and widely used in signal processing. Unlike s o-called ‘global’ transforms such as the Fourier transform\, they allo w local Fourier analysis\, within the limits of the uncertainty principles . These express the fact that precision in the frequency domain is achieve d at the expense of temporal localisation\, and vice versa.\n\nThese trans formations are generally based on simple general rules\, which have an imp act on their joint time-frequency localisation properties. For example\, w ith the STFT (Short time Fourier transform)\, the temporal precision is th e same at each instant and each frequency: this is known as constant time- frequency resolution.  The wavelet transform\, which is used to character ise changes of scale in the function (signal) being analysed\, has a frequ ency resolution that is proportional to the frequency being analysed: this is known as constant relative frequency resolution. There are many varian ts characterised by other rules linking frequency (or time) and frequency resolution. However\, they are rarely adaptive (in the sense that the time -frequency resolution is not directly adapted on the basis of the characte ristics of the analysed signal). And when they are\, the mathematical impl ications of this adaptation have never\, to our knowledge\, been analysed in detail.\n\nThis thesis is devoted precisely to the construction and ana lysis of such adaptive transformations. In our construction\, the resoluti on around a time $t$ or a frequency $omega$ can become more or less fine d epending on certain criteria defined upstream. This change in resolution i s achieved by introducing a function $sigma_f$ called focus function depen dent on the function $f$ being analysed\, which defines the local scale (i n the time or frequency domain) of the analysis window\, or the analysis w avelet depending on the context. Such a change in the definition of adapti ve transforms thus breaks the underlying group structures and linearity of the transforms on which they are based.\n\nWe have therefore proposed two distinct transforms. The first\, called $M^tau$ and referred to as time-f ocused\, is based on the STFT. The second\, called $M^nu$ and with a frequ ency-focus\, is based on the wavelet transform. In both cases\, our first results concern basic properties such as the correct definition as a (non- linear) application of $L^2(R)$ in $L^2(R^2)$ for the first and of $H^2(R) $ in $L^2(R^2\,dmu)$\, $H^2$ being the real Hardy space and $dmu$ a certai n measure specific to our construction. We also showed some norm frames in corresponding spaces. We then showed results related to the linearisation of transforms such as mixed norm checks and stability estimates.\n\nAn im portant aspect is the choice of the focus function $sigma$  used to adapt the transform. We have introduced focus functions based on local (time or frequency) Rényi entropy measures computed from a reference STFT (or wav elet transform). The stability results mentioned above play a central role in understanding these focus functions.\n\nFinally\, we have laid the fou ndations for studying the inversion of adaptive transforms based on Rényi entropies. Although these initial results have not yet led to well-define d inversion schemes\, they do suggest that such schemes will become access ible.\n\nThe results described in this thesis are mainly theoretical\, but they are nevertheless illustrated by some numerical simulations\, which p rove that the adaptive transforms we have introduced make sense and have r eal application potential.\n\nKeywords: Analysis\, time-frequency\, Fourie r\, wavelets\, non-linear\, harmonic\, adaptative CATEGORIES:Soutenance de thèse LOCATION:I2M Saint-Charles - Salle de séminaire\, Université Aix-Marseill e\, Campus Saint-Charles\, 3 Place Victor Hugo\, Marseille\, 13003\, Franc e X-APPLE-STRUCTURED-LOCATION;VALUE=URI;X-ADDRESS=Université Aix-Marseille\, Campus Saint-Charles\, 3 Place Victor Hugo\, Marseille\, 13003\, France;X -APPLE-RADIUS=100;X-TITLE=I2M Saint-Charles - Salle de séminaire:geo:0,0 END:VEVENT BEGIN:VTIMEZONE TZID:Europe/Paris X-LIC-LOCATION:Europe/Paris BEGIN:STANDARD DTSTART:20251026T020000 TZOFFSETFROM:+0200 TZOFFSETTO:+0100 TZNAME:CET END:STANDARD END:VTIMEZONE END:VCALENDAR