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URL:https://www.i2m.univ-amu.fr/evenements/two-problems-in-nonlinear-pdes-
 existence-in-supercritical-elliptic-equations-and-symmetry-for-a-hypo-elli
 ptic-operator/
SUMMARY:Luis Fernando Lopez Rios (I2M\, Aix-Marseille Université): Two pro
 blems in nonlinear PDEs : existence in supercritical elliptic equations an
 d symmetry for a hypo-elliptic operator
DESCRIPTION:Luis Fernando Lopez Rios: Le travail présenté est dédié à 
 des problèmes d'EDP non linéaires. L'idée principale est de construire 
 des solutions régulières á certaines EDPs elliptiques et hypo-elliptiqu
 es et étudier leur propriétés qualitatives. Dans une première partie\,
  on considère un problème sur-critique du type $$-Delta u = lambda e^u$$
  avec $lambda &gt\; 0$ posé dans un domaine extérieur avec conditions de
  Dirichlet homogènes. Une réduction en dimension finie permet de prouver
  l'existence d'un nombre infini de solutions régulières quand $lambda$ e
 st assez petit. Dans une deuxième partie\, on étudie la concentration de
  solutions d'un problème non local $$(-Delta)^s u = u^{p pm epsilon}\, u&
 gt\;0\, epsilon &gt\; 0$$ dans un domaine borné\, régulier sous conditio
 ns de Dirichlet homogènes. Ici\, on prend $0 &lt\; s &lt\; 1$ et $p:=(N+2
 s)/(N-2s)$\, l'exposant de Sobolev critique. Une réduction en dimension f
 inie dans des espaces fonctionnels bien choisis est utilisée. La partie p
 rincipale de la fonction réduite est donnée en termes des fonctions de G
 reen et Robin sur le domaine. On prouve que l'existence de solutions dépe
 nd des points critiques de la fonction susmentionnée augmentée d'une con
 dition de non-dégénérescence. Enfin\, on considère un problème non lo
 cal dans le groupe de Heisenberg $H$. On s'intéresse à des propriétés 
 de rigidité des solutions stables de $(-Delta_H)^s v = f(v)$ sur $H$\, $s
  in (0\,1)$. Une inégalité de type Poincaré connectée à un problème 
 dégénéré dans $R^4_+$ est prouvée. Au travers d'une procédure d'exte
 nsion\, cette inégalité est utilisée pour donner un critère sous leque
 l les lignes de niveaux de la solution de l'EDP sont des surfaces minimale
 s dans $H$.\n\nMots clés : problèmes supercritique\, Lyapunov-Schmidt r
 éduction\, solutions régulières\, opérateurs hypo-elliptiques\, transi
 tions de phase non locales\, équations aux dérivées partielles\, opéra
 teurs elliptiques\, équations différentielles non linéaires.\n\n*Membre
 s du jury :\nLe président du jury était Jean-Michel Roquejoffre.\nLe jur
 y était composé de Alexander Quaas\, Patricio A. Felmer\, François Hame
 l.\nLes rapporteurs étaient Giuseppe Mingione\, Boyan Sirakov.\n\nLiens :
 \n- theses.fr\n- ResearchGate
CATEGORIES:Soutenance de thèse,Analyse Appliquée
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