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 sekssa/
SUMMARY:Enea Parini (I2M\, Aix-Marseille Université): Un problème isopér
 imétrique\, kessekssa ?
DESCRIPTION:Enea Parini: En mathématiques\, et plus précisément en géom
 étrie\, un théorème isopérimétrique est une généralisation des rés
 ultats plus élémentaires d'isopérimétrie montrant par exemple que le d
 isque est\, à périmètre donné\, la figure ayant la plus grande aire. L
 es questions traitées par cette généralisation concernent les compacts 
 d'un espace métrique muni d'une mesure. Un exemple simple est donné par 
 les compacts d'un plan euclidien. Les compacts concernés sont ceux de mes
 ures finies ayant une frontière aussi de mesure finie. Dans l'exemple cho
 isi\, les compacts concernés sont ceux dont la frontière est une courbe 
 rectifiable\, c'est-à-dire essentiellement non fractale. Les mesures du c
 ompact et de sa frontière sont naturellement différentes : dans l'exemp
 le\, la mesure du compact est une aire\, tandis que celle de sa courbe fro
 ntière est une longueur.\n\nUn théorème isopérimétrique caractérise 
 les compacts ayant la mesure la plus grande possible pour une mesure de le
 ur frontière fixée. Dans le plan euclidien en utilisant la mesure de Leb
 esgue\, un théorème isopérimétrique indique qu'un tel compact est un d
 isque. En dimension 3\, toujours avec une géométrie euclidienne\, une au
 tre version du théorème indique que c'est une boule. D'une manière plus
  générale\, dans un espace euclidien de dimension n\, muni de la mesure 
 de Lebesgue\, l'optimum est obtenu par une boule\, ce qui donne l'inégali
 té isopérimétrique suivante\, si K est un compact et B la boule unité
  :\n\n ( Vol ∂ K ) n ( Vol K ) n − 1 ≥ ( Vol ∂ B ) n ( Vol B ) n 
 − 1 . {\\displaystyle {\\frac {({\\text{Vol}}\\\,\\partial K)^{n}}{({\\t
 ext{Vol}}\\\,K)^{n-1}}}\\geq {\\frac {({\\text{Vol}}\\\,\\partial B)^{n}}{
 ({\\text{Vol}}\\\,B)^{n-1}}}.} Les théorèmes isopérimétriques sont sou
 vent difficiles à établir. Même un cas simple\, comme celui du plan euc
 lidien muni de la mesure de Lebesgue\, est relativement technique à démo
 ntrer. Une des méthodes de preuve\, connue depuis la démonstration de Hu
 rwitz en 1901\, est d'utiliser un résultat d'analyse issu de la théorie 
 des séries de Fourier : l'inégalité de Wirtinger. Le résultat reste p
 artiel car il ne traite que des surfaces dont la frontière est une courbe
  de classe C1.\n\nLes théorèmes isopérimétriques sont actuellement l'o
 bjet d'une intense recherche en mathématiques\, en particulier en analyse
  fonctionnelle et en théorie des probabilités\, à la suite de leurs lie
 ns étroits avec les phénomènes de concentration de mesure. [wiki]\n\n&n
 bsp\;
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CATEGORIES:Séminaire,Kécékssa
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