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 e-de-robin/
SUMMARY:Laurent Baratchart (INRIA\, Sophia Antipolis): Unicité pour le pro
 blème inverse de Robin
DESCRIPTION:Laurent Baratchart: Le problème de Robin direct consiste\, ét
 ant donné un domaine Ω et une conductivité σ dans Ω\, à trouver une 
 solution u de l’équation de conductivité div(σu) = 0 dans Ω\, qui v
 érifie sur une partie Γ0 du bord ∂Ω de Ω une condition de Neumann im
 posée : ∂u∕∂n = g\, cependant que sur la partie complémentaire du 
 bord Ω \\ Γ0 on a la relation de Robin : ∂u∕∂n + λu = 0 où λ &g
 t\; 0 est une fonction définie sur Ω \\ Γ0. Le problème inverse de Rob
 in consiste à trouver λ sachant g et u sur un sous-ensemble de Γ0. L’
 équation de Robin est une version linéarisée de certains modèles de co
 rrosion. La résolution du problème inverse de Robin est dans ce cadre un
 e approche non destructive au contrôle de corrosion en appliquant un flux
  (e.g. de courant) sur une partie accessible du bord (i.e. Γ0) et en y ob
 servant la valeur de la solution (e.g. le potentiel électrique). La quest
 ion que nous discutons est l’unicité de λ étant donnés g et u sur un
  sous-ensemble de mesure positive de Γ0. Les hypothèses sont que Ω est 
 Lipschitz et borné\, que σ est strictement elliptique: 0 &lt\; c &lt\; 
 σ &lt\; C &lt\; ∞ et Lipschitz-continu (ceci peut-être quelque peu aff
 aibli)\, que g est L2(Γ 0)\, et que λ est borné. Sous ces hypothèses\,
  il y a une unique solution u  W1\,2(Ω) au problème direct. En dimension
  2\, il y a unicité de λ dès que Γ0 est de mesure strictement positive
 . Lorsque Ω est lisse\, que Γ0 est d’intérieur non vide et que λ est
  continu ( par morceaux)\, ceci est classique\, au moins pour les équatio
 ns de Laplace et de Helmholtz\, et ce en toute dimension. Le cas présent\
 , qui est moins régulier et considère des conductivités plus générale
 s\, ne semble pas si bien connu. Il est intéressant de noter que\, dans c
 ette plus grande généralité\, le résultat est faux en dimension supér
 ieure à 2. Cette différence est due au fait que les ensembles de mesure 
 non nulle du bord sont des ensembles d’unicité pour les fonctions holom
 orphes de classe Smirnov sur un ouvert Lipschitz\, cependant que les gradi
 ents harmoniques sur la boule en dimension 3 peuvent s’annuler continume
 nt sur un ensemble de mesure positive de la sphère après un contre-exemp
 le fameux de T. Wolff. \nUniqueness for inverse Robin problem\nhttps://hal
 .archives-ouvertes.fr/hal-01084428\n
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CATEGORIES:Séminaire,Analyse et Géométrie
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