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 r-les-corps-de-fonctions/
SUMMARY:Alain Couvreur (LIX\, École polytechnique\, Palaiseau): Vers un th
 éorème de Freiman pour les corps de fonctions
DESCRIPTION:Alain Couvreur: Un célèbre théorème de théorie additive de
 s nombres dû à Freiman et parfois appelé "theorème 3k-3" peut s'énonc
 er comme suit :\n"Soit A une partie finie de Rd et A+A l'ensemble des somm
 es de deux éléments de A. Si Card(A+A) &lt\; 3|A| - 3\, alors A est cont
 enu dans une progression arithmétique."\nEn particulier\, l'espace affine
  engendré par A est de dimension 1.\n\nDans cet exposé on s'intéressera
  à un analogue multiplicatif de ce résultat: étant donné un espace de 
 dimension finie S dans un corps de fonctions F\, on étudiera les cas où 
 la dimension de l'espace S2 engendré par les produits de deux éléments 
 de S est "petite". On énoncera ce que pourrait être un analogue du théo
 rème de Freiman dans ce contexte et le prouvera dans un cas particulier. 
 On produira ensuite la classification complète des espaces dont le carré
  est de dimension minimale\, à savoir les espaces vérifiant dim S2 = 2 d
 im S - 1 et dim S2 = 2 dim S.\n-\nIl s'agit d'un travail en collaboration 
 avec Christine Bachoc et Gilles Zémor.\nTowards a Freiman theorem for fie
 lds of functions.\nA famous theorem of additive number theory due to Freim
 an and sometimes called "theorem 3k-3" can be stated as follows: "Let A be
  a finite subset of Rd and A+A the set of sums of two elements of A. If Ca
 rd (A+A)&lt\;3 |A| -3\, then A is contained in an arithmetic progression."
  In particular\, the affine space generated by A is of dimension 1. In thi
 s talk we will be interested in a multiplicative analog of this result: gi
 ven a finite dimensional space S in a field of functions F\, we will study
  the cases where the dimension of the space S2 generated by the products o
 f two elements of S is "small". We will state what could be an analogue of
  Freiman's theorem in this context and prove it in a particular case. We w
 ill then produce the complete classification of spaces whose square is of 
 minimum dimension\, namely the spaces satisfying dim S2=2 dim S - 1 and di
 m S2=2 dim S.
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CATEGORIES:Séminaire,Ernest
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