Constructions apériodiques autour des barres d’Ammann et pavages de Penrose

Carole Porrier
Université Paris-Nord

Date(s) : 28/11/2023   iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min

Un pavage du plan est composé d’ensembles fermés appelés tuiles, qui couvrent le plan euclidien sans trou ni chevauchement. Mes travaux portent sur des pavages quasipériodiques : bien qu’ils ne soient pas périodiques, on y trouve partout les mêmes motifs finis et leurs propriétés peuvent être assez fortes. Les plus connus sont les pavages de Penrose, qui combinent un grand nombre de propriétés. On peut en effet les définir par des règles locales, des substitutions, par coupe et projection, ou comme système dynamique symbolique. De manière générale, les pavages quasipériodiques se définissent par une seule de ces méthodes, et on se demande quels liens il peut y avoir entre différentes façons de les définir ou représenter.
La structure combinatoire d’un pavage peut être étudiée via le graphe d’adjacence des tuiles (ou graphe dual). Dans un tel graphe, on s’intéresse aux sous-arbres induits ayant le plus grand nombre possible de feuilles à nombre n de sommets fixé. La suite de ces maxima est appelée « fonction feuille ». Dans ma thèse, je détermine la formule de la fonction feuille des pavages de Penrose, en utilisant les substitutions et règles locales pour exhiber une famille de sous-arbres induits « pleinement feuillus » arbitrairement grands.
Ensuite, comme les barres d’Ammann des pavages de Penrose ont joué un rôle dans l’étude du problème ci-dessus, on tente de mieux les comprendre via la notion de sous-périodes, qui découlent d’un schéma de coupe et projection. On définit grâce à celles-ci une méthode permettant de trouver des barres d’Ammann pour de nombreux pavages, en construisant des jeux de tuiles décorées, qui sont apériodiques. Les pavages en questions peuvent alors être obtenus en assemblant les tuiles façon puzzle plutôt que par coupe et projection.

Emplacement
Site Sud, Luminy, Ancienne BU

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