Distorsion dans le groupe d’automorphismes d’un full-shift

Antonin Callard
ENS Paris-Saclay
https://www.acallard.net

Date(s) : 03/03/2023   iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min

Soit X un full-shift, i.e. l’ensemble des mots bi-infinis sur un alphabet donné. Munir X de la topologie produit en fait un espace de Cantor. Considérons l’ensemble de ses automorphismes Aut(X)(homéomorphismes invariants par translation), qui forme un groupe pour la composition.

La structure de Aut(X) peut se révéler complexe, et un certain nombre d’inconnues demeurent. Une direction de recherche consiste à étudier quels groupes peuvent être réalisés comme sous-groupes de Aut(X) (e.g. tous les groupes finis, les groupes abéliens f.g., ainsi que leurs produits, produits libres, sommes directes, etc… ou encore le
lamplighter group), ou au contraire à étudier des restrictions permettant d’affirmer qu’un groupe ne peut pas être plongé dans Aut(X).

Les plongements dans Aut(X) de groupes comme les Baumslag-Solitar BS(m,n) ou le groupe de Heisenberg demeurent des problèmes ouverts. Pour progresser sur cette question, cet exposé s’intéressera à l’existence d’éléments de distorsion dans Aut(X), i.e. des éléments du groupe dont la norme de mot (relativement à un ensemble fini de générateurs) des puissances croît sous-linéairement.

On montrera que tout full-shift contient un élément de distorsion (cet élément étant, moralement, la machine SMART introduite par J. Cassaigne, N. Ollinger et R. Torres-Avilés). Une conséquence de cette preuve est l’existence d’un élément de distorsion dans le groupe de Thompson-Brin 2V.

 


Séminaire RAUZY

 

Emplacement
FRUMAM, St Charles (2ème étage)

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