Classification Lipschitz des germes d’espaces singuliers

Anne Pichon
Marseille
http://www.i2m.univ-amu.fr/perso/anne.pichon/ https://www.i2m.univ-amu.fr/user/anne.pichon/

Date(s) : 12/10/2023   iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min

Soit $ (X,0) \subset ({\mathbb R}^n,0) $ un germe d’ensemble analytique réel. Pour tout $\epsilon>0$ suffisamment petit, l’intersection de $X$ avec la sphère $S^{n-1}_\epsilon$ de rayon $\epsilon$ autour de $0$ est transverse, et $X$ est localement « topologiquement conique », c’est-à-dire homéomorphe au cône sur son link $L_{\epsilon}=X\cap S^{n-1}_\epsilon$. Cependant, en général, il n’est pas métriquement conique : il existe des parties du link $L_{\epsilon}$ avec une topologie non triviale qui se contractent plus vite que linéairement lorsque $\epsilon$ tend vers $0$. Un problème naturel est alors la classification des germes à homéomorphisme bi-Lipschitz local près; la géométrie Lipschitz d’un germe d’espace singulier est sa classe d’équivalence dans cette catégorie.Il existe différentes approches pour ce problème suivant le choix de la métrique. Un germe $(X,0)$ a en fait deux métriques naturelles induites à partir de n’importe quel plongement dans ${\mathbb R}^n$ (ou ${\mathbb C}^n$ par la métrique euclidienne standard : la métrique dite externe est définie par la restriction de la distance euclidienne, tandis que la métrique interne est définie par l’infimum des longueurs des chemins dans $V$.

Je donnerai une présentation introductive au sujet et présenterai des résultats récents sur ces classifications Lipschitz des espaces singuliers complexes $(X,0) \subset ({\mathbb C}^n,0) \cong ({\mathbb R}^{2n},0)$ en petite dimension (courbes et surfaces complexes). Certains de ces résultats sont le fruit de collaborations avec Lev Birbrair et Walter Neumann, les plus récents avec Lorenzo Fantini. J’en profiterai pour énoncer une très jolie application de l’un de ces résultats, donnée tout récemment par Yenni Cherik.

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