À propos de la construction de Dynnikov connectant le problème de Novikov et les billards dans les pavages (suite) – Olga Paris-Romaskevich

Prenons une surface arbitraire 3-périodique M dans l’espace euclidien et un plan H qui la coupe. Quelle famille de courbes pourrait-on retrouver dans leur intersection ? Ce problème a été formulé par Sergeï Novikov dans les années 80, en liaison avec la physique des métaux.

Comme l’a prouvé Ivan Dynnikov, des courbes typiques dans l’intersection entre M et H sont soit périodiques soit s’échappent à l’infini dans le plan H en approchant des droites. Pourtant, il existe un ensemble exceptionnel F des couples (M,H) pour lesquels les courbes dans l’intersection s’échappent à l’infini de façon non-linéaire. Cet ensemble F est contenu dans un sous-espace de codimension 1. Le problème de Novikov est de mieux comprendre ce F. Ce problème est toujours ouvert en toute généralité.

Je raconterai comment cet ensemble F peut être interprété grâce à un nouveau point de vue — celui des billards dans les pavages, au moins dans le cas de genre 3. La construction que je vais présenter a été trouvée par Ivan Dynnikov très récemment.

De cette façon, un problème de topologie trouve sa formulation dynamique ! Et donc, l’espoir d’être résolu avec des outils dynamiques !

PS. Cet exposé est la continuation de l’exposé de la semaine dernière. Pourtant, aucun pre-réquis est nécessaire. Je rappellerai tout !