À propos d’une question de Pascal Hubert

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Date(s) - 11/12/2015
11 h 00 min - 12 h 00 min

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La question de Pascal est la suivante : Etant donné un sous-groupe discret Gamma de SL(2,R) et un vecteur v de R^2 d’orbite Gamma v discrète, peut-on relier la vitesse de croissance de l’orbite Gamma v dans R^2 (c’est-à-dire l’exposant de croissance du nombre de points dans des boules de plus en plus grandes) à l’exposant critique du sous-groupe (c’est-à-dire l’exposant de croissance de l’orbite d’un point dans l’espace hyperbolique) ?
La réponse de Françoise Dal’Bo à cette question est positive : la relation entre les deux est bien celle que l’on attendrai.
Ma réponse à la question est au contraire négative : j’ai des exemples de sous-groupes de SL(2,Z) ayant une orbite dans Z^2 de densité positive mais ayant aussi un exposant critique arbitrairement petit.
Aucune contradiction bien entendu : Françoise Dal’Bo fait une hypothèse qui n’est pas vérifiée par mes exemples.

Dans mon exposé je rappellerai toutes les définitions nécessaires et je préciserai les énoncés. J’indiquerai comment ces résultats se généralisent à des groupes d’isométries d’un espace Gromov-hyperbolique.
J’expliquerai l’argument (très simple) de Françoise Dal’Bo, puis je donnerai les idées de ma preuve, qui est basé sur un argument de ping-pong.

Une preuve complète de mon résultat est disponible ici : https://www.i2m.univ-amu.fr/~paul.mercat/DiscreteActionOnThePlane.pdf

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Olivier CHABROL
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