Action du groupe de Weyl sur l’espace de poids nul

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Date/heure
Date(s) - 24/01/2019
14 h 00 min - 15 h 00 min

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Soit G un groupe de Lie (complexe, ou compact, ou déployé, peu importe), et rho une représentation irréductible de dimension finie de ce groupe (sur un espace V). On peut alors définir l’action du groupe de Weyl W de G sur l’espace de poids de V correspondant au poids nul (appelons-le V0). Dans le groupe de Weyl, un rôle spécial est joué par le “mot le plus long” w0, qui envoie les racines positives sur les racines négatives. Nous allons répondre à la question suivante : dans quels cas ce w0 a-t-il une action non triviale sur V0 ? (Cette question est motivée par une certaine question en dynamique des groupes de transformations affines.)

Bien entendu, lorsque V0 est lui-même trivial (i.e. lorsque le plus haut poids de V n’appartient pas au réseau des racines), l’action est également triviale. Dans les autres cas, il se trouve que l’action est presque toujours non triviale. Les seules exceptions (pour les groupes simples) sont les représentations dont le plus haut poids est multiple de l’un des poids fondamentaux, avec un coefficient qui ne dépasse pas une certaine valeur seuil. Ces valeurs seuils dépendent du groupe et du poids fondamental, et constituent un tableau très intrigant.

http://www.hse.ru/en/org/persons/224233370

Olivier CHABROL
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