Action du groupe de Weyl sur l’espace des vecteurs MA-invariants

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Date(s) - 07/10/2019
14 h 00 min - 15 h 00 min

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Ilia SMILGA (Higher School of Economics, Moscow)

Soit $G$ un groupe de Lie réel semisimple, $\mathfrak{a}$ son
« sous-espace de Cartan » ou « tore déployé maximal » (sous-algèbre
abélienne diagonalisable sur $\mathbb{R}$ maximale). On peut alors
définir son groupe de Weyl restreint $W$, comme le quotient du
normalisateur de $\mathfrak{a}$ par son centralisateur. (Je donnerai des
exemples concrets).

Considérons maintenant une représentation irréductible de dimension
finie $\rho$ de ce groupe (agissant sur un espace $V$). Alors $W$ a une
action bien définie sur le sous-espace $V^L$ formé par les vecteurs de
$V$ fixés par le normalisateur de $\mathfrak{a}$, appelé $MA$ ou $L$.
Dans le groupe de Weyl (restreint), un rôle spécial est joué par le « mot
le plus long » $w_0$, qui envoie les racines (restreintes) positives sur
les racines (restreintes) négatives. Nous nous posons la question
suivante : dans quels cas ce $w_0$ a-t-il une action non triviale sur
$V^L$ ? (Cette question est motivée par une certaine question en
dynamique des groupes de transformations affines.)

Cette question se décompose naturellement en deux parties : quelles sont
les représentations pour lesquelles, déjà, $V^L$ est non trivial ? et
puis, parmi celles-ci, quelles sont celles où, en plus, $w_0$ agit
non-trivialement sur $V^L$ ? Dans le cas particulier où $G$ est déployé,
la première question est très facile, et nous avons trouvé la réponse à
la deuxième, qui est : « presque toutes ». Dans le cas général, j’ai
récemment obtenu la réponse à la première question, et pour la deuxième
question je dispose d’une conjecture. Je vais présenter tous ces travaux.

http://www.normalesup.org/~smilga/


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