Analyse numérique de schémas volumes finis à mailles décalées pour certains systèmes hyperboliques issus de la mécanique des fluides

Résumé:
Cette thèse s’inscrit dans la continuité de collaborations entre l’IRSN (Institut de Radioprotection et Sûreté Nucléaire) et l’I2M (Institut de Mathématiques de Marseille) sur le développement et l’analyse de schémas de discrétisation en temps et en espace pour la résolution numérique de certains problèmes de mécanique des fluides. La première partie de ce manuscrit concerne les équations de Saint-Venant. On propose une analyse d’un schéma numérique pour les équations Saint-Venant avec gradient de fond, avec un schéma de Heun en temps et un schéma MUSCL en espace pour des volumes finis sur grilles à mailles décalées (schéma MAC). La stabilité du schéma est démontrée, ainsi qu’un résultat de consistance « à la Lax » pour un opérateur général de convection non linéaire sur maillages décalées, qui s’applique à tous les systèmes de lois de conservation. Des tests numériques sont effectués pour établir la validité du schéma. On s’intéresse aussi aux mêmes équations, mais avec un terme source qui modélise la force de Coriolis pour la modélisation d’écoulements géostrophiques. La discrétisation MAC upwind est comparée à une discrétisation par éléments finis de type Rannacher-Turek avec une stabilisation qui permet de réduire la diffusion. Des résultats numériques permettent de comparer les deux schémas avec une résolution de type Godunov. Ensuite, on considère les équations de Saint-Venant en une dimension d’espace couplées avec une équation dite « d’Exner », qui modélise le transport de sédiment. Une régularisation de la loi de frottement permet d’obtenir un bilan d’énergie. Plusieurs formules de flux de sédiment déjà proposées dans la littérature sont étudiées. Les équations résultantes sont discrétisées par un schéma explicite par équation en temps et un schéma à mailles décalées en espace. Le tout est illustré par des résultats numériques.

La deuxième partie est consacrée à la résolution numérique d’un modèle de simulation de déflagration turbulente régi par les équations d’Euler réactif. La modélisation de la combustion est basée sur une approche phénoménologique : la propagation de la flamme est représentée par le transport de la fonction caractéristique de la zone brûlée, où la réaction chimique est complète ; en dehors de cette zone, l’atmosphère reste à l’état frais. Numériquement on adopte une approche de type pénalisation, c’est-à-dire en utilisant un taux de conversion fini avec un temps caractéristique tendant vers zéro avec les pas d’espace et de temps. Ici encore, le schéma numérique est à maillage décalé, et l’algorithme en temps consiste à résoudre d’abord les bilans de masse des espèces chimiques, puis, les bilans de masse, de quantité de mouvement et d’énergie du fluide. Des propriétés de stabilité sont démontrées, et on observe numériquement que la procédure de pénalisation converge. Une solution exacte pour le problème de la déflagration sphérique modélisée par les équations d’Euler réactif.