Analyse numérique de schémas volumes finis à mailles décalées pour certains systèmes hyperboliques issus de la mécanique des fluides

Youssouf Nasseri
I2M, Aix-Marseille Université
http://www.theses.fr/s189272

Date(s) : 29/03/2021   iCal
9 h 45 min - 11 h 45 min

SOUTENANCE DE THÈSE

Composition du jury :
Enrique D. FERNÀNDEZ-NIETO
Nicolas SEGUIN
Robert EYMARD
Charlotte PERRIN
Antonin NOVOTNY
Raphaèle HERBIN
Jean-Claude LATCHÉ
Université de Séville
Université de Rennes 1
Université de Marne la Vallée
Aix-Marseille Université
Université de Toulon
Aix-Marseille Université
IRSN Cadarache
Rapporteur
Rapporteur
Examinateur
Examinatrice
Examinateur
Directrice
Co-directeur

 

Résumé:
Cette thèse s’inscrit dans la continuité de collaborations entre l’IRSN (Institut de Radioprotection et Sûreté Nucléaire) et l’I2M (Institut de Mathématiques de Marseille) sur le développement et l’analyse de schémas de discrétisation en temps et en espace pour la résolution numérique de certains problèmes de mécanique des fluides. La première partie de ce manuscrit concerne les équations de Saint-Venant. On propose une analyse d’un schéma numérique pour les équations Saint-Venant avec gradient de fond, avec un schéma de Heun en temps et un schéma MUSCL en espace pour des volumes finis sur grilles à mailles décalées (schéma MAC). La stabilité du schéma est démontrée, ainsi qu’un résultat de consistance “à la Lax” pour un opérateur général de convection non linéaire sur maillages décalées, qui s’applique à tous les systèmes de lois de conservation. Des tests numériques sont effectués pour établir la validité du schéma. On s’intéresse aussi aux mêmes équations, mais avec un terme source qui modélise la force de Coriolis pour la modélisation d’écoulements géostrophiques. La discrétisation MAC upwind est comparée à une discrétisation par éléments finis de type Rannacher-Turek avec une stabilisation qui permet de réduire la diffusion. Des résultats numériques permettent de comparer les deux schémas avec une résolution de type Godunov. Ensuite, on considère les équations de Saint-Venant en une dimension d’espace couplées avec une équation dite “d’Exner”, qui modélise le transport de sédiment. Une régularisation de la loi de frottement permet d’obtenir un bilan d’énergie. Plusieurs formules de flux de sédiment déjà proposées dans la littérature sont étudiées. Les équations résultantes sont discrétisées par un schéma explicite par équation en temps et un schéma à mailles décalées en espace. Le tout est illustré par des résultats numériques.
La deuxième partie est consacrée à la résolution numérique d’un modèle de simulation de déflagration turbulente régi par les équations d’Euler réactif. La modélisation de la combustion est basée sur une approche phénoménologique : la propagation de la flamme est représentée par le transport de la fonction caractéristique de la zone brûlée, où la réaction chimique est complète ; en dehors de cette zone, l’atmosphère reste à l’état frais. Numériquement on adopte une approche de type pénalisation, c’est-à-dire en utilisant un taux de conversion fini avec un temps caractéristique tendant vers zéro avec les pas d’espace et de temps. Ici encore, le schéma numérique est à maillage décalé, et l’algorithme en temps consiste à résoudre d’abord les bilans de masse des espèces chimiques, puis, les bilans de masse, de quantité de mouvement et d’énergie du fluide. Des propriétés de stabilité sont démontrées, et on observe numériquement que la procédure de pénalisation converge. Une solution exacte pour le problème de la déflagration sphérique modélisée par les équations d’Euler réactif.

 

Numerical analysis of finite volume diagrams with shifted meshes for certain hyperbolic systems resulting from fluid mechanics

This thesis is part of the continuity of collaborations between IRSN (Institute for Radioprotection and Nuclear Safety) and I2M (Institute of Mathematics of Marseille) on the development and analysis of discretization schemes in time and space for numerical resolution of certain fluid mechanics problems. The first part of this manuscript concerns the equations of Saint-Venant. We propose an analysis of a numerical scheme for the Saint-Venant equations with background gradient, with a Heun scheme in time and a MUSCL scheme in space for finite volumes on shifted mesh grids (MAC scheme). The stability of the scheme is demonstrated, as well as a result of “Lax” consistency for a general operator of nonlinear convection on shifted meshes, which applies to all systems of conservation laws. Numerical tests are performed to establish the validity of the diagram. We are also interested in the same equations, but with a source term that models the Coriolis force for modeling geostrophic flows. The MAC upwind discretization is compared to a finite element discretization of the Rannacher-Turek type with a stabilization which makes it possible to reduce the diffusion. Numerical results make it possible to compare the two diagrams with a resolution of the Godunov type. Then, we consider the Saint-Venant equations in one dimension of space coupled with an equation called “Exner”, which models the transport of sediment. A regularization of the friction law makes it possible to obtain an energy balance. Several sediment flow formulas already proposed in the literature are studied. The resulting equations are discretized by an explicit diagram by equation in time and a diagram with meshes shifted in space. Everything is illustrated by numerical results. The second part is devoted to the numerical resolution of a turbulent blast simulation model governed by reactive Euler equations. The combustion modeling is based on a phenomenological approach: the flame propagation is represented by the transport of the characteristic function of the burnt zone, where the chemical reaction is complete; outside this area, the atmosphere remains cool. Numerically, we adopt a penalization-type approach, that is to say by using a finite conversion rate with a characteristic time tending towards zero with the steps of space and time. Here again, the numerical scheme is mesh-shifted, and the time algorithm consists in first solving the mass balances of chemical species, then the mass, momentum and energy balances of the fluid. Stability properties are demonstrated, and we observe numerically that the procedure of penalization converges. An exact solution to the problem of the spherical deflagration modeled by the reactive Euler equations.

 

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