Date(s) : 25/10/2019 iCal
14 h 00 min - 16 h 00 min
Andrea GAGNA (I2M, AGLR-LDP, Aix-Marseille Université)
Soutenance de thèse
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Sur la théorie de l’homotopie des 3-catégories strictes
Cette thèse s’inscrit dans le cadre d’un projet visant à comprendre la théorie de l’homotopie des n-catégories strictes et en particulier des 3-catégories strictes, la dimension 3 étant la plus petite dimension mal comprise. Dans la première partie de ce travail, on montre que le nerf de Street, foncteur qui à toute n-catégorie stricte associe un ensemble simplicial, induit une équivalence en homotopie entre les n-catégories strictes et les types d’homotopie d’espaces, pour $1 \leq n \leq \infty$.
Notre stratégie nous permet également de démontrer une équivalence en homotopie entre une catégorie de complexes de chaînes, les complexes dirigés augmentés de Steiner, et les types d’homotopie. Dans la deuxième partie de cette thèse, on introduit une notion de 3-foncteur oplax normalisé entre 3-catégories strictes, morphismes de 3-catégories ne respectant les compositions qu’à des contraintes orientées près, ces contraintes étant soumises à certaines cohérences. On prouve que notre définition est
équivalente à une seconde définition, définie en termes de morphismes d’ensembles simpliciaux entre nerfs de Street, ce qui nous permet de montrer que nos 3-foncteurs oplax normalisés se composent. On décrit explicitement une opération de strictification donnant une bijection entre les 3-foncteurs oplax normalisés de source une petite catégorie sans boucle et les 3-foncteurs de source le strictifié. Enfin, dans la dernière partie, on travaille à la généralisation au cadre 3-catégorique de la structure de catégorie de modèles dite « à la Thomason » établie dans les cadres 1-catégorique et 2-catégorique. En particulier, on donne une description explicite de certaines sommes amalgamées de 3-catégories strictes, généralisant des sommes amalgamées 2-catégoriques apparaissant au cœur des arguments 2-catégoriques. Enfin, on fournit des éléments de réflexion sur l’utilisation de ces résultats et de nos 3-foncteurs oplax normalisés pour obtenir la structure de catégorie de modèles à la Thomason recherchée.
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On the homotopy theory of strict 3-categories
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This thesis is part of a project aiming to understand the homotopy theory of strict n-categories and in particular of strict 3-categories, the dimension 3 being the smallest dimension not well-understood.
In the first part of this work, I show that the Street nerve, functor that to any strict n-category associates a simplicial set, induces an equivalence in homotopy between strict n-categories and the homotopy types of spaces, for $1 \leq n \leq \infty$. Our strategy also allows us to prove an equivalence in homotopy between a category of chain complexes, Steiner’s augmented directed complexes, and the homotopy types.
In the second part of this thesis, I introduce a notion of normalised oplax 3-functor between strict 3-categories, morphisms of 3-categories respecting compositions only up to oriented coherences. I prove that this definition is equivalent to a second definition, described by means of morphisms of simplicial sets between Street nerves, which allows to show that our normalised oplax 3-functors compose. I explicitly describe a strictification operation giving a bijection between normalised oplax 3-functors with source a small loop-free category and the 3-functors with source its strictification. Finally, in the last part, I work on the generalisation of the so-called « Thomason model category structure » into the setting of 3-categories, which has been already established in the 1-categorical and 2-categorical case. In particular, I give an explicit description of certain pushouts of strict 3-categories, generalising the pushouts of 2-categories lying at the heart of the 2-categorical arguments.
Finally, I provide some considerations on using these results and our normalised oplax 3-functors to get the desired Thomason model structure.
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*Membres du jury :
liste partielle
M. Yves LAFONT – Professeur, Université d’Aix-Marseille – Directeur
M. Dimitri ARA – Maître de Conférences, Université d’Aix-Marseille – Codirecteur
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(lien à venir)
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Liens :
– theses.fr
– Fiche de l’ED184
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