Approximation diophantienne sur l’ensemble triadique de Cantor

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Date(s) - 29/02/2016
10 h 00 min - 11 h 00 min

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Pour μ ≥ 2, on désigne par M(μ) l’ensemble des nombres réels approchables à l’ordre au moins μ par des nombres rationnels. Il y a plus de 80 ans, Jarník et Besicovitch ont montré de façon indépendante que la dimension de Hausdorff de M(μ) est égale à 2∕μ. Nous nous intéresserons à la taille de l’intersection de M(μ) avec des sous-ensembles compacts Ahlfors-réguliers de l’intervalle [0, 1]. En particulier, dans la lignée d’un problème posé par Mahler, nous proposerons une conjecture pour la valeur exacte de la dimension de l’intersection de M(μ) avec l’ensemble triadique de Cantor, et nous donnerons plusieurs résultats pour appuyer celle-ci. Nous montrerons en particulier que cette conjecture est vérifiée pour un modèle probabiliste qui rend naturellement compte de la distribution des rationnels. L’étude repose de manière générale sur des estimées de dimension pour l’ensemble des points d’un ensemble Ahlfors-régulier soumis à des conditions d’approximation par un système de points aléatoires. Il s’agit d’un travail commun avec Yann Bugeaud (Strasbourg).

http://www.logique.jussieu.fr/~durand/

Olivier CHABROL
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