Arnaud Durand
Laboratoire de Mathématiques d'Orsay, Université Paris-Diderot
http://www.logique.jussieu.fr/~durand/
Date(s) : 29/02/2016 iCal
10 h 00 min - 11 h 00 min
Pour μ ≥ 2, on désigne par M(μ) l’ensemble des nombres réels approchables à l’ordre au moins μ par des nombres rationnels. Il y a plus de 80 ans, Jarník et Besicovitch ont montré de façon indépendante que la dimension de Hausdorff de M(μ) est égale à 2∕μ. Nous nous intéresserons à la taille de l’intersection de M(μ) avec des sous-ensembles compacts Ahlfors-réguliers de l’intervalle [0, 1]. En particulier, dans la lignée d’un problème posé par Mahler, nous proposerons une conjecture pour la valeur exacte de la dimension de l’intersection de M(μ) avec l’ensemble triadique de Cantor, et nous donnerons plusieurs résultats pour appuyer celle-ci. Nous montrerons en particulier que cette conjecture est vérifiée pour un modèle probabiliste qui rend naturellement compte de la distribution des rationnels. L’étude repose de manière générale sur des estimées de dimension pour l’ensemble des points d’un ensemble Ahlfors-régulier soumis à des conditions d’approximation par un système de points aléatoires. Il s’agit d’un travail commun avec Yann Bugeaud (Strasbourg).
Diophantine approximation on the middle-third Cantor set
For μ ≥ 2, we denote by M(μ) the set of real numbers approximate to order at least μ by rational numbers. Over 80 years ago, Jarník and Besicovitch independently showed that the Hausdorff dimension of M(μ) is equal to 2 ∕μ. We are interested in the size of the intersection of M(μ) with compact Ahlfors-regular subsets of the interval [0, 1]. In particular, in line with a problem posed by Mahler, we will propose a conjecture for the exact value of the dimension of the intersection of M(μ) with the triadic set of Cantor, and we will give several results to support that -this. We will show in particular that this conjecture holds for a probabilistic model which naturally accounts for the distribution of rationals. The study is generally based on dimension estimates for the set of points of an Ahlfors-regular set subjected to approximation conditions by a system of random points. This is a joint effort with Yann Bugeaud (Strasbourg).
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00826895
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