Approximation numérique des solutions de problèmes dissipatifs gouvernés par des flots gradients

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Date(s) - 10/03/2015
11 h 00 min - 12 h 00 min

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R. Jordan, D. Kinderlehrer et F. Otto ont exhibé dans leur papier fondateur [1] que l’équation de Fokker-Planck pouvait être interprétée comme le flot gradient de l’entropie de Boltzmann pour la métrique de Wasserstein. Par la suite, F. Otto [2] a mis en avant la structure Riemannienne formelle sous-jacente. Nous proposons un nouveau schéma numérique (obtenu par généralisation du schéma VAG [3]) qui a la particularité de préserver au niveau discret la structure de flot gradient de quelques généralisations de l’équation de Fokker-Planck.
Nous proposons l’analyse numérique de ce schéma : stabilité, positivité des solutions, existence de solution discrete, convergence lorsque les paramètres de discrétisation tendent vers 0. Enfin, nous proposons quelques résultats numériques pour illustrer l’efficacité de notre méthode.
Ce travail est issu d’une collaboration avec Cindy Guichard.

Références :
[1] R. Jordan, D. Kinderlehrer, and F. Otto. The variational formulation of the
Fokker-Planck equation. SIAM J. Math. Anal., 29(1):1-17, 1998.

[2] F. Otto. The geometry of dissipative evolution equations: the porous medium
equation. Comm. Partial Differential Equations, 26(1-2):101-174, 2001.

[3] R. Eymard, C. Guichard, and R. Herbin. Small-stencil 3D schemes for diffusive
flows in porous media. ESAIM Math. Model. Numer. Anal., 46(2):265-290, 2012.

[https://www.ljll.math.upmc.fr/cances/]

Olivier CHABROL
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