Automorphismes géométriques des groupes libres : croissance polynomiale et algorithmes

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Date(s) - 13/07/2016
10 h 00 min - 12 h 00 min

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Soutenance de thèse


Un automorphisme (extérieur) \phi d’un groupe libre F_n de rang fini n \geq 2 est dit géométrique s’il est induit par un homéomorphisme d’une surface, c’est à dire s’il existe une surface compacte S (éventuellement non-orientable), avec un nombre fini de composantes de bord, et un homéomorphisme h : S \rightarrow S qui induit un automorphisme h_* : \pi_1(S) \rightarrow \pi_1(S) du groupe fondamental conjugué à \phi.
La question à laquelle nous intéressons dans cette thèse est la suivante : ​Quels sont les automorphismes de F_n qui sont géométriques ?
Nous donnons une réponse algorithmique à cette question pour la classe des automorphismes à croissance polynomiale (en s’autorisant à remplacer un automorphisme par une puissance).
Pour cela, nous sommes amenés à étudier les automorphismes de graphes de groupes. En particulier, nous introduisons deux transformations élémentaires d’automorphismes de graphes de groupes : les quotients et les éclatements. Pour notre algorithme, les techniques de quotient/éclatement sont utilisées dans le cas particulier où l’automorphisme est un twist de Dehn partiel. On obtient un critère pour décider quand un tel twist de Dehn partiel est un véritable twist de Dehn.
Étant donné un automorphisme à croissance polynomiale \phi, on explique comment obtenir un représentant topologique spécial pour une puissance de \phi, à partir d’une application de train track relative qui représente \phi. Nous montrons ainsi que tout automorphisme à croissance polynomiale admet une puissance qui se représente comme un twist de Dehn cumulé.
En appliquant le critère à plusieurs reprises, nous montrons que soit on peut “déplier” ce twist de Dehn cumulé jusqu’à obtenir un twist de Dehn ordinaire, soit que \phi est à croissance au moins quadratique (et par conséquent, n’est pas géométrique).
Cela montre, au passage, que tout automorphisme du groupe libre à croissance linéaire admet une puissance qui est un twist de Dehn. Ce fait est connu des experts, et souvent utilisé, bien qu’il n’en existait pas de preuve formelle dans la littérature (à la connaissance de l’auteur).
Pour conclure, lorsqu’on a obtenu un twist de Dehn, on applique l’algorithme de Cohen-Lustig pour le transformer en twist de Dehn efficace, puis on applique l’algorithme Whitehead et des théorèmes classiques de Nielsen-Baer et Zieschang pour construire un modèle géométrique ou pour montrer qu’il n’est pas géométrique.

*Membres du jury :


Stefano FRANCAVIGLIA, University of Bologna, Rapporteur ;
Alexandra PETTET, University of British Columbia, Rapporteur ;
Gilbert LEVITT, Université de Caen, Examinateur ;
Luisa PAOLUZZI, Aix-Marseille Université, Examinateur ;
Luis PARIS, Université de Bourgogne, Examinateur ;
Pascal WEIL, Université Bordeaux I, Examinateur ;
Martin LUSTIG, Aix-Marseille Université, Directeur de thèse ;
Arnaud HILION, Aix-Marseille Université, co-Directeur de thèse.

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(lien à venir)

Voir également la Journée thématique “Géométrie des Groupes” 2016.

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Lien : theses.fr

Olivier CHABROL
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