Autour de l’inégalité de la puissance entropique

Yannis Oudghiri
I2M, Aix-Marseille Université
/user/yannis.oudghiri/

Date(s) : 02/06/2022   iCal
14 h 00 min - 16 h 00 min

SOUTENANCE DE THÈSE

Sous la direction de Pierre Mathieu Pierre et Erwan Hillion.

Thèse en préparation à Aix-Marseille , dans le cadre de Mathématiques et informatique de Marseille (184) , en partenariat avec l’Institut de Mathématiques de Marseille (équipe de recherche Probabilités) depuis le 22-10-2018 .

Autour de l’inégalité de la puissance entropique

Le principal objet d’étude de cette thèse est l’EPI (pour Entropy Power Inequality), introduite dans le célèbre article de Shannon A Mathematical Theory of Communication (1948). Malheureusement, sa preuve est incomplète. C’est Stam qui donne une preuve complète de l’EPI (1959). C’est une inégalité classique de la théorie de l’information dont il existe de nombreuses preuves. Cette inégalité fait intervenir l’entropie de Shannon qui peut être vue comme une notion probabiliste.
La motivation du premier chapitre est la preuve de l’EPI par Rioul (2017). L’intérêt de cette preuve est son utilisation du transport optimal. De plus, la preuve fait intervenir la formulation équivalente de l’EPI donnée par Lieb (1978). De nos jours, cette formulation semble la plus utilisée en pratique. Le chapitre étudie le comportement de l’entropie le long de certains processus stochastiques. Nous utilisons comme outil le transport optimal dynamique, à la Benamou-Brenier.

Dans le deuxième chapitre, nous étudions des conditions pour qu’une fonction exprimée comme une espérance conditionnelle soit croissante. Ce chapitre donne des généralisation du théorème d’Efron (1965). Le théorème d’Efron donne des conditions suffisantes pour que l’espérance conditionnelle sachant la somme de variables aléatoire i.i.d. log-concaves est croissante. Le premier résultat de ce chapitre est la généralisation du théorème d’Efron à la classe PFn. Le second résultat donne sous des conditions plus fortes, une notion de croissance plus puissante. On donne aussi une application de ce second résultat.

Dans le chapitre 3, on traite de quelques cas particulier d’une conjecture sur l’entropie de variables aléatoires log-concaves, dans la continuité des travaux d’Eskenazis, Nayar et Tkocz.

Around the inequality of the entropic power

The main object of study of this thesis is the EPI (for Entropy Power Inequality), introduced in Shannon’s famous paper A Mathematical Theory of Communication (1948). Unfortunately, its proof is incomplete. It is Stam who gives a complete proof of the EPI (1959). It is a classical inequality of the theory of information of which there are many proofs. This inequality involves Shannon’s entropy which can be seen as a probabilistic notion.
The motivation for the first chapter is the proof of the IPE by Rioul (2017). The interest of this proof is its use of optimal transport. In addition, the proof involves the equivalent formulation of the IPE given by Lieb (1978). Nowadays, this formulation seems to be the most used in practice. The chapter studies the behavior of entropy along some stochastic processes. We use as a tool the dynamic optimal transport, à la Benamou-Brenier.

In the second chapter, we study conditions for a function expressed as a conditional expectation to be increasing. This chapter gives generalizations of Efron’s theorem (1965). Efron’s theorem gives sufficient conditions for the conditional expectation knowing the sum of log-concave i.i.d. random variables to be increasing. The first result of this chapter is the generalization of Efron’s theorem to the PFn class. The second result gives under stronger conditions a more powerful notion of growth. We also give an application of this second result.

In chapter 3, we discuss some special cases of a conjecture on the entropy of log-concave random variables, in the continuity of the work of Eskenazis, Nayar and Tkocz.

Liens :
http://www.theses.fr/s217477
https://college-doctoral.univ-amu.fr/inscrit/11058

 

Emplacement
Site Nord, CMI, Salle de Séminaire R164 (1er étage)

Catégories



Retour en haut 

Secured By miniOrange