Autour des représentations distinguées : la conjecture d’injectivité généralisée et modèles symplectiques pour les groupes unitaires

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Date(s) - 06/07/2018
14 h 30 min - 16 h 00 min

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Soutenance de thèse


Cette thèse est une contribution à l’étude des représentations distinguées et comporte deux parties indépendantes.
La première s’intéresse à la Conjecture d’injectivité généralisée formulée par Casselman et Shahidi en 1998.
Le seconde est un travail en commun avec Dipendra Prasad.

Soit G un groupe connexe quasi-déployé défini sur un corps non-Archimédien de caractéristique nulle.
On suppose que l’on se donne un sous-groupe parabolique standard de décomposition de Levi P=MU ainsi qu’une représentation irréductible tempérée \tau de M. Soit \nu un élément dans le dual de l’algèbre de Lie de la composante déployée de M; on le choisit dans la chambre de Weyl positive. La représentation induite I_P^G(\tau_{\nu}) est appelée module standard. Quand la représentation \tau est générique (pour un caractère non-dégénéré de U), i.e a un modèle de Whittaker, le module standard I_P^G(\tau_{\nu}) est également générique. De plus, par un résultat de Rodier tout module standard générique a un unique sous-quotient générique.
Casselman et Shahidi ont conjecturé que cet unique sous-quotient générique apparaissait nécessairement comme sous-représentation dans le module standard I_P^G(\tau_{\nu}).
Dans notre travail, nous formulons et étudions ce problème dans le contexte d’un groupe réductif quasi-déployé quelconque
en nous appuyant principalement sur la forme du support cuspidale, \sigma_{\lambda}, de cet unique sous-quotient irréductible générique.
La forme explicite du support cuspidale est étudiée en utilisant la correspondance entre points résiduels dominants de la fonction \mu et diagrammes de Dynkin pondérés.
Nous utilisons et prouvons l’existence de plongements stratégiques pour le sous-quotient irréductible générique lorsqu’il est de carré intégrable; puis nous utilisons des opérateurs d’entrelacement à noyau non-générique.
Ces outils nous permettent de prouver la Conjecture pour tout groupe connexe quasi-déployé tel que les composantes irréductibles d’un certain système de racines, \Sigma_{\sigma}, sont de type A,B,C ou D.

{{Abstract:}} This thesis is a contribution to the study of distinguished representations and is made up of two independant parts.
The first is concerned with the Generalized Injectivity Conjecture formulated by Casselman and Shahidi in their paper
“On irreducibility of standard modules for generic representations” published in 1998.
The second is a joint work with Dipendra Prasad.

Let G be a quasi-split connected reductive group over a non-Archimedean local field F of characteristic zero.
We assume we are given a standard parabolic subgroup P with Levi decomposition P=MU as well as an irreducible, tempered representation \tau of M. Let now \nu be an element in the dual of the real Lie algebra of the split component of M; we take it in the positive Weyl chamber. The induced representation I_P^G(\tau_{\nu}) is called a standard module.
When the representation \tau is generic (for a non-degenerate character of U), i.e. has a Whittaker model, the standard module I_P^G(\tau_{\nu}) is also generic.
Further, by a result of Rodier any generic induced module has a unique irreducible generic subquotient.

Casselman and Shahidi have conjectured that the unique irreducible generic subquotient of a standard module I_P^G(\tau_{\nu}) is necessarily a subrepresentation.

In our work, we formulate and study this problem in the context of any quasi-split reductive group while mostly relying on the form of the cuspidal support, \sigma_{\lambda} of this unique irreducible generic subquotient.
Explicit forms of the cuspidal support are studied using the correspondence between dominant residual points of the \mu function and Weighted Dynkin diagrams.

We use and prove the existence of strategic embeddings for irreducible generic discrete series representations and further use intertwining operators with non-generic kernel.
These tools allow us to prove the Generalized Injectivity Conjecture for any quasi-split connected reductive group such that the irreducible components of a certain root system, \Sigma_{\sigma}, are of type A,B,C or D.

*Membres du jury :


Raphaël BEUZART-PLESSIS, Chargé de Recherche CNRS (I2M, Marseille)
Pierre-Henri CHAUDOUARD, Professeur (IMJ, Paris)
Jean-François DAT, Professeur (IMJ, Paris)
Pascale HARINCK, Chargée de Recherche CNRS (CMLS, Palaiseau)
Volker HEIERMANN, Professeur, Université d’Aix-Marseille – Directeur de thèse
Anne PICHON, Professeur AMU (I2M, Marseille)
Vincent SECHERRE, Professeur UVSQ (LMV, Versailles)


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Liens :
theses.fr
Fiche de l’ED184

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Olivier CHABROL
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