Benjamin ANDRYSIAK – Homologie cyclique périodique de l’algèbre de Schwartz d’un groupe discret d’isométries d’un espace à courbure non-positive

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Date(s) - 02/12/2019
14 h 00 min - 17 h 00 min

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Benjamin ANDRYSIAK (I2M, AGLR-RGR, Aix-Marseille Université)

Soutenance de thèse


Homologie cyclique périodique de l’algèbre de Schwartz d’un groupe discret d’isométries d’un espace à courbure non-positive
Dans cette thèse nous calculons l’homologie cyclique périodique réduite de l’algèbre des fonctions sommables à décroissance rapide (par rapport à une métrique de mots) sur un groupe discret agissant de manière isométrique, propre et cocompacte sur un espace métrique à courbure non-positive. Elle coïncide avec l’homologie du groupe à coefficients dans la sous-représentation de la représentation adjointe donnée par les éléments de torsion du groupe. Cela coïncide avec l’homologie cyclique périodique de l’anneau du groupe et est en accord avec les résultats de Vincent Lafforgue sur la K-théorie de l’algèbre de Schwartz.

Notre calcul se fait en analogie avec celui bien connu de l’homologie cyclique d’une algèbre de groupe. La présence de la topologie sur l’algèbre de Schwartz nous force cependant à renoncer aux arguments de l’algèbre homologique abstraite et à travailler exclusivement avec des morphismes de complexes complètement explicites. Cela est nécessaire pour établir leur continuité.

Nous partons de la décomposition du complexe cyclique en somme directe topologique des sous-complexes indexés par les classes de conjugaison du groupe. Pour étudier un tel sous-complexe nous utilisons deux outils. D’un côté, la projection “orthogonale” de l’espace CAT(0) sur le sous-espace des points de déplacement minimal sous un élément fixé de la classe de conjugaison. De l’autre, une subdivision des simplexes dans cet espace, bien adaptée à la géométrie de courbure non-positive.
Nous arrivons ainsi à une rétraction par déformation du sous-complexe associé à une classe de conjugaison dans un complexe de dimension finie. Toutes les normes sur un espace vectoriel de dimension finie étant équivalentes, nous pouvons oublier la topologie de l’algèbre de Schwartz et nous arrivons au résultat cherché.

Periodic cyclic homology of the Schwartz algebra of a discrete group of isometries of a space with non-positive curvature
In this thesis we compute the reduced periodic cyclic homology of the algebra of rapid decay summable functions (w.r.t. a word metric) over a discrete group acting isometricaly, properly and cocompactly over a non-positive curvature metric space. It coincides with the group homology with coefficients in the sub-representation of the adjoint representation given by the torsion elements of the group. This coincides with the periodic cyclic homology of the group ring and agrees with Vincent Lafforgue’s results on the K-theory of the Schwartz algebra .
Our computing is led in a similar way to the well known for the cyclic homology of a group algebra. The topology on the Schwartz algebra however forces us to renounce to abstract homological algebra arguments and to work exclusively with completely explicit chain maps. This is necessary to establish their continuity.
We start with the decomposition of the cyclic complex into a topological direct sum of sub-complexes indexed by the conjugacy classes of the group. To study such a subcomplex we use two tools. On one hand, the “orthogononal” projection of the CAT(0) space onto the subspace of minimal displacement points under a fixed element of the conjugacy class. On the other hand, a subdivision of simplicies in this space, well adapted to non-positive curvature geometry.

We thus arrive to a deformation retraction of the subcomplex associated to a conjugacy class into a finite dimensional complex. Every norms on a finite dimensional linear space being equivalent, we can forget the topology of the Schwartz algebra and we then reach the sought result.

*Membres du jury :


– Moulay-Tahar Benameur, Université de Montpellier – Examinateur
– Claire Debord, Institut de Mathématiques de Jussieu – Examinatrice
– Victor Nistor, Université de Lorraine – Examinateur
– Hervé Oyono-Oyono, Université de Lorraine – Rapporteur
– Denis Perrot, Université Lyon 1 – Rapporteur
– Christophe Pittet, I2M, AMU – Examinateur
– Michael Puschnigg, I2M, AMU – Directeur de thèse
– Richard Zekri, I2M, AMU – Examinateur

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(lien à venir)

Liens :
theses.fr
Fiche de l’ED184

Olivier CHABROL
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